Какова площадь трапеции, вписанной в окружность, если диагональ трапеции равна 2, а угол между боковой стороной

Чтобы найти площадь трапеции, вписанной в окружность, нам понадобится использовать некоторые свойства геометрии.

1. Заметим, что диагональ трапеции служит хордой окружности (отрезком, соединяющим две точки на окружности).
2. У нас есть угол между боковой стороной трапеции и линией, проведенной из центра окружности. Заметим, что этот угол равен 60 градусам.
3. Используем основное свойство: угол, натянутый на дугу окружности, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге. В нашем случае, угол, натянутый на дугу, равен 60 градусам. Значит, центральный угол, соответствующий этой дуге, составляет 120 градусов.

Теперь, для решения задачи, нам нужно найти длины сторон трапеции. Посмотрим на треугольник, образованный радиусом окружности, боковой стороной трапеции и отрезком, соединяющим центр окружности с серединой основания трапеции.

4. У нас есть радиус окружности, которая равна половине длины диагонали трапеции. Так как диагональ трапеции равна 2, радиус окружности будет равен 1.

5. Зная, что радиус окружности равен половине длины сторон треугольника, мы можем найти длину боковой стороны трапеции. Она равна 2 удвоенная длина радиуса, то есть 2 * 1 = 2.

6. Так как у нас есть основание и боковая сторона трапеции, мы можем найти высоту треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный основанием, высотой и линией, проведенной из центра окружности.

7. Нам известно, что угол между основанием трапеции и этой линией равен 60 градусам. Этот треугольник является равнобедренным, так как две стороны равны между собой (они равны радиусу окружности).

8. Используем теорему синусов для нахождения длины высоты треугольника: \[h = \frac{{b \cdot \sin(\alpha)}}{{\sin(\beta)}}\]
Где h - высота треугольника, b - длина основания треугольника, \(\alpha\) - угол между основанием и линией, проведенной из центра окружности, \(\beta\) - угол, образованный между сторонами треугольника.

В нашем случае это выглядит так: \[h = \frac{{2 \cdot \sin(60)}}{{\sin(120)}}\]
\[h = \frac{{2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}\]
\[h = 2\]
Таким образом, высота треугольника равна 2.

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, мы используем следующую формулу:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

Где S - площадь трапеции, a и b - длины оснований трапеции, h - высота треугольника.

9. Подставляя значения, получаем:

\[S = \frac{{(2 + 2)}}{2} \cdot 2\]
\[S = \frac{{4}}{2} \cdot 2\]
\[S = 4\]

Таким образом, площадь трапеции, вписанной в окружность, равна 4 квадратным единицам.