Какова площадь трапеции, если ее основания составляют 8 см и 18 см, а углы при большем основании равны 30°?

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать значение ее оснований и высоту. В данной задаче, основания трапеции равны 8 см и 18 см, а также известно, что углы при большем основании равны 30°.

Для начала, давайте нарисуем трапецию и обозначим известные значения:

\[
\begin{align*}
\text{Основание 1 (меньшее)} &: 8 \, \text{см} \\
\text{Основание 2 (большее)} &: 18 \, \text{см} \\
\angle BAC &= 30°
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти высоту трапеции, нам понадобится использовать триангуляцию и тригонометрию.

Step 1: Найдем угол BCA

Так как в треугольнике ABC сумма углов равна 180°, мы можем найти угол BCA:

\[
\angle BCA = 180° - (\angle BAC + \angle ABC)
\]

Угол ABC можно найти, так как он равен углу при большем основании:

\[
\angle ABC = 30°
\]

Теперь мы можем найти угол BCA:

\[
\angle BCA = 180° - (30° + 30°) = 120°
\]

Step 2: Найдем высоту трапеции

Чтобы найти высоту трапеции, мы разделим трапецию на два треугольника.

Обозначим точку D - середину основания 2 (большего основания). Тогда, мы можем провести линию CD (высоту) и образовать два треугольника - BCD и ACD.

Так как треугольник BCD - равнобедренный (равные основания), то угол BCD равен углу BCA (120°).

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту треугольника BCD. Мы знаем, что угол BCD = 120°, а основание BCD = 18 см.

Давайте обозначим высоту треугольника BCD как h. Тогда, мы можем использовать тангенс угла BCD:

\[
\tan(120°) = \frac{h}{\frac{18}{2}}
\]

Выразим h:

\[
h = \frac{18}{2} \cdot \tan(120°)
\]

Подставим значение угла и вычислим:

\[
h = 9 \cdot \tan(120°) \approx 15.588
\]

Теперь мы знаем, что высота треугольника BCD (или высота трапеции) равна примерно 15.588 см.

Step 3: Найдем площадь трапеции

Теперь, имея значения оснований и высоты трапеции, мы можем найти ее площадь, используя следующую формулу:

\[
\text{Площадь трапеции} = \frac{{\text{Сумма оснований}} \times \text{Высота}}{2}
\]

Подставим значения:

\[
\text{Площадь трапеции} = \frac{{(8 \, \text{см} + 18 \, \text{см}) \times 15.588 \, \text{см}}}{2} \approx 173.504 \, \text{см}^2
\]

Таким образом, площадь данной трапеции составляет примерно 173.504 квадратных сантиметра.