Каковы длины гипотенузы и одного из катетов прямоугольного треугольника, если их соотношение составляет 13:12, а другой

Для начала, позвольте нам обозначить длину гипотенузы как \(x\) и длину одного из катетов как \(y\). Мы знаем, что отношение этих двух сторон составляет 13:12, то есть:

\(\frac{x}{y} = \frac{13}{12}\)

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает эти две стороны. Мы также знаем, что длина другого катета равна 15 см.

Для решения задачи, давайте воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: "Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов."

Применяя эту теорему к нашей задаче, мы можем записать следующее уравнение:

\(y^2 + 15^2 = x^2\)

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из уравнения отношения длин сторон и уравнения Пифагора. Давайте решим эту систему.

Сначала возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от дробей в уравнении отношения:

\(x^2 = \left(\frac{13}{12}y\right)^2\)

\(x^2 = \frac{169}{144}y^2\)

Теперь подставим это значение \(x^2\) в уравнение Пифагора:

\(y^2 + 15^2 = \frac{169}{144}y^2\)

Раскроем скобки и соберем все члены с \(y^2\) в одну сторону уравнения:

\(\frac{169}{144}y^2 - y^2 = 15^2\)

\(\frac{25}{144}y^2 = 225\)

Теперь умножим обе стороны на \(\frac{144}{25}\), чтобы избавиться от дроби:

\(y^2 = \frac{225 \cdot 144}{25}\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти значение \(y\):

\(y = \sqrt{\frac{225 \cdot 144}{25}}\)

После подсчетов, мы получаем:

\(y = 18\)

Теперь, когда мы знаем значение \(y\), мы можем найти значение \(x\) с помощью уравнения отношения:

\(\frac{x}{18} = \frac{13}{12}\)

Умножая обе стороны на 18:

\(x = \frac{13}{12} \cdot 18\)

После подсчетов, мы получаем:

\(x = 19.5\)

Таким образом, длины гипотенузы и одного из катетов прямоугольного треугольника при данных условиях составляют 19.5 см и 18 см соответственно.