Какова площадь трапеции ABCD, если площади треугольников S BOC и S COD равны 3 см² и 12 см² соответственно?

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства площадей треугольников и трапеций.

По условию, дано, что площади треугольников \(S_{BOC}\) и \(S_{COD}\) равны 3 см² и 12 см² соответственно. Пошагово рассмотрим, как можно найти площадь трапеции ABCD.

1. Обозначим основания трапеции как \(AB = a\) и \(CD = b\). Обратите внимание, что \(AB\) и \(CD\) являются параллельными отрезками, так как это основания трапеции.

2. Обозначим высоты треугольников \(BOC\) и \(COD\) как \(h_1\) и \(h_2\) соответственно.

3. Зная, что площадь треугольника \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\), можем записать:

Для треугольника \(BOC\): \(S_{BOC} = \frac{1}{2} \times a \times h_1\) (1)

Для треугольника \(COD\): \(S_{COD} = \frac{1}{2} \times b \times h_2\) (2)

4. Поскольку площади треугольников \(S_{BOC}\) и \(S_{COD}\) уже заданы, подставим значения в уравнения (1) и (2):

Для треугольника \(BOC\): \(3 = \frac{1}{2} \times a \times h_1\) (3)

Для треугольника \(COD\): \(12 = \frac{1}{2} \times b \times h_2\) (4)

5. Чтобы найти площадь трапеции, нужно суммировать площади треугольников \(BOC\) и \(COD\):

Площадь трапеции \(S_{\text{трапеции}} = S_{BOC} + S_{COD}\) (5)

6. Используем значения площадей треугольников из уравнений (3) и (4), чтобы найти \(h_1\) и \(h_2\):

Для треугольника \(BOC\): \(3 = \frac{1}{2} \times a \times h_1\)

Решим уравнение относительно \(h_1\): \(h_1 = \frac{2 \times 3}{a}\) (6)

Для треугольника \(COD\): \(12 = \frac{1}{2} \times b \times h_2\)

Решим уравнение относительно \(h_2\): \(h_2 = \frac{2 \times 12}{b}\) (7)

7. Подставим значения \(h_1\) и \(h_2\) из уравнений (6) и (7) в уравнение (5), чтобы найти площадь трапеции:

Площадь трапеции \(S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{2 \times 3}{a} + \frac{1}{2} \times b \times \frac{2 \times 12}{b}\)

Упростим выражение: \(S_{\text{трапеции}} = 3 + 12\)

Итак, площадь трапеции \(S_{\text{трапеции}}\) равна \(15\) квадратным сантиметрам.

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 15 квадратным сантиметрам.