Какова площадь трапеции ABCD, если ее основания равны 4 см и 11 см, угол C равен 120∘, BC – меньшее основание

Чтобы найти площадь трапеции ABCD, мы будем использовать формулу площади трапеции:

\[Площадь = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где a и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции.

У нас уже заданы значения оснований и одной из боковых сторон. Однако нам нужно найти высоту трапеции, чтобы использовать эту формулу.

Для начала, построим треугольник DCM, где DM = 6 см, и угол C равен 120∘. Известно, что биссектрисы углов C и D пересекаются в точке M.

Чтобы найти высоту DCM, мы можем использовать формулу биссектрисы треугольника. Формула для биссектрисы треугольника:

\[MB = \frac{2 \cdot \sqrt{ab \cdot p \cdot (p - c)}}{a + b}\]

где a и b - длины сторон треугольника, c - длина биссектрисы, p - полупериметр треугольника.

В нашем случае, стороны треугольника DCM равны DM = 6 см, CM = a (большее основание трапеции) и CD = b (меньшее основание трапеции).

Поскольку нам известны длины оснований трапеции (4 см и 11 см), мы знаем, что a = 11 см и b = 4 см. Мы также знаем, что угол C равен 120∘.

Теперь, чтобы найти высоту DCM, сначала найдем полупериметр треугольника DCM. Полупериметр p вычисляется следующим образом:

\[p = \frac{(a + b + c)}{2}\]

где c - длина стороны треугольника, совпадающей с биссектрисой UDM.

В нашем случае, мы знаем, что DM = 6 см, CM = 11 см, и CD = 4 см. Так как DM = 6 см, то мы можем записать:

\[p = \frac{(11 + 4 + 6)}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\]

Теперь, используя значения a, b, c и p, мы можем вычислить длину биссектрисы MB:

\[MB = \frac{2 \cdot \sqrt{ab \cdot p \cdot (p - c)}}{a + b}\]

\[MB = \frac{2 \cdot \sqrt{11 \cdot 4 \cdot 10.5 \cdot (10.5 - 6)}}{11 + 4}\]

\[MB = \frac{2 \cdot \sqrt{1848}}{15}\]

\[MB = \frac{2 \cdot 42.98}{15} = \frac{85.96}{15} = 5.73\]

Таким образом, высота DCM равна 5.73 см.

Теперь, когда мы знаем высоту трапеции DCM (5.73 см) и длины ее оснований (4 см и 11 см), мы можем использовать формулу площади трапеции:

\[Площадь = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

\[Площадь = \frac{(4 + 11) \cdot 5.73}{2}\]

\[Площадь = \frac{15 \cdot 5.73}{2} = \frac{85.95}{2}\]

\[Площадь = 42.975\]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 42.975 квадратных сантиметров.