Какова площадь свободной части прямоугольного треугольника, не занятой вписанной окружностью, если длины катетов равны

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем гипотенузу треугольника.
По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. В данном случае, длины катетов равны 40 см, поэтому гипотенуза треугольника будет равна:

\[c = \sqrt{40^2 + 40^2}\\
c = \sqrt{1600 + 1600}\\
c = \sqrt{3200}\\
c \approx 56.57\text{ см}\]

Шаг 2: Найдем полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника вычисляется как полусумма длин всех сторон. В нашем случае, у нас есть два катета равной длины и гипотенуза. Полупериметр будет равен:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\\
p = \frac{40 + 40 + 56.57}{2}\\
p \approx 68.28\text{ см}\]

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника:

\[r = \frac{a + b - c}{2}\\
r = \frac{40 + 40 - 56.57}{2}\\
r \approx 11.43\text{ см}\]

Шаг 4: Найдем площадь вписанной окружности.
Площадь вписанной окружности вычисляется по формуле:

\[S_{\text{окр}} = \pi \cdot r^2\\
S_{\text{окр}} \approx 3.14 \cdot 11.43^2\text{ см}^2\\
S_{\text{окр}} \approx 407.19\text{ см}^2\]

Шаг 5: Найдем площадь треугольника.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[S_{\text{тр}} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\\
S_{\text{тр}} = \sqrt{68.28 \cdot (68.28 - 40) \cdot (68.28 - 40) \cdot (68.28 - 56.57)}\\
S_{\text{тр}} \approx 542.34\text{ см}^2\]

Шаг 6: Найдем площадь свободной части треугольника.
Площадь свободной части треугольника равна разности площади треугольника и площади вписанной окружности:

\[S_{\text{св}} = S_{\text{тр}} - S_{\text{окр}}\\
S_{\text{св}} = 542.34 - 407.19\\
S_{\text{св}} \approx 135.15\text{ см}^2\]

Таким образом, площадь свободной части прямоугольного треугольника, не занятой вписанной окружностью, составляет примерно \(135.15 \, \text{см}^2\).