Какова площадь сферы, которая вписана в конус, если радиус основания конуса составляет 3 см, а угол вершины осевого

Чтобы найти площадь сферы, вписанной в конус, мы можем использовать информацию о радиусе основания конуса и угле вершины осевого сечения. Давайте решим эту задачу пошагово:

1. Найдем высоту конуса:
Высота конуса является расстоянием от вершины конуса до его основания. Для этого нам необходимо использовать геометрические свойства конуса.
В данной задаче у нас имеется правильный конус, у которого угол вершины осевого сечения равен 60 градусам. Угол вершины осевого сечения — это угол между основанием конуса и его высотой. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, где сторона, противолежащая углу 60 градусов, равна радиусу основания конуса (3 см), а высота конуса является противоположной стороной.
Для вычисления высоты прямоугольного треугольника можно использовать тригонометрию, а именно, функцию синуса. Формула гласит: \(\sin(\Theta) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\), где \(\Theta\) - угол, а противоположная сторона - высота, а гипотенуза - радиус основания конуса.
Подставляя значения в формулу, получаем: \(\sin(60^\circ) = \frac{{\text{{высота}}}}{{3}}\).
Таким образом, высота конуса равна \(3 \cdot \sin(60^\circ)\) см.

2. Найдем радиус сферы:
Радиус сферы, вписанной в конус, равен радиусу основания конуса. В данной задаче радиус основания конуса составляет 3 см.

3. Найдем площадь сферы:
Площадь сферы можно найти с помощью формулы \(S = 4\pi \cdot r^2\), где \(S\) - площадь сферы, а \(r\) - радиус сферы.
Подставляя значение радиуса (\(3\) см) в формулу, получаем:
\(S = 4\pi \cdot 3^2 = 4\pi \cdot 9\) кв. см.

4. Получаем окончательный ответ:
Площадь сферы, которая вписана в данный конус, составляет \(4\pi \cdot 9\) кв. см.

Надеюсь, что ответ был понятен! Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, сообщите мне. Я с удовольствием помогу вам!