Какова площадь сечения шара, если его диаметр равен 10 и плоскость проходит через конец диаметра под углом 45 градусов?

Чтобы найти площадь сечения шара, нужно рассмотреть плоскость, проходящую через конец диаметра под углом 45 градусов. Давайте взглянем на то, как происходит сечение.

Когда плоскость проходит через центр шара (то есть через его середину), сечение будет выглядеть как окружность диаметром 10. Однако в данной задаче плоскость проходит через конец диаметра под углом 45 градусов, поэтому сечение будет немного иначе.

Изобразим шар на бумаге и проведем диаметр, указав конец диаметра и угол 45 градусов. Обратите внимание, что получившееся сечение не является окружностью с диаметром 10, так как плоскость не проходит через центр шара.

Теперь, чтобы найти площадь сечения, мы можем использовать геометрические свойства фигур. Заметим, что сечение похоже на сегмент окружности. Сегмент окружности - это часть плоскости, заключенная между дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими центр окружности с крайними точками дуги.

Чтобы найти площадь сечения, мы можем сначала найти площадь сегмента окружности, а затем вычесть площадь треугольника, образованного радиусом и хордой сегмента.

Найдем площадь сегмента окружности. Формула площади сегмента окружности выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin \theta)\]

Где \(S\) - площадь сегмента, \(r\) - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол сегмента в радианах.

В нашем случае, радиус \(r = \frac{10}{2} = 5\) (половина диаметра), а центральный угол \(\theta\) равен 45 градусам, что в радианах составляет \(\frac{\pi}{4}\).

Подставив значения в формулу, получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \left(\frac{\pi}{4} - \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]

Вычислим значение в скобках:

\(\frac{\pi}{4} - \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7849\)

Теперь можем вычислить площадь сечения:

\[S \approx \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot 0.7849 \approx 9.811\]

Таким образом, площадь сечения шара, когда плоскость проходит через конец диаметра под углом 45 градусов, составляет примерно 9.811 квадратных единиц.