Какова площадь сечения и площадь поверхности куба с ребром a, если через диагональ основания ac и вершину v1 проведено

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть куб с ребром a. Для начала, давайте определим, что такое сечение. Сечение - это плоскость, которая проходит через фигуру и разделяет ее на две части. В данной задаче сечение выполняется через диагональ основания ac и вершину v1 (см. рисунок).

\[
\begin{{array}}{{c}}
\text{{ac}} \\
|\, \\
|\, \\
|\, \\
v_1
\end{{array}}
\begin{{array}}{{c}}
\fbox{{К}} \\
|\, \\
a
\end{{array}}
\]

Для нахождения площади сечения, мы должны определить размер сечения. Заметим, что сечение делит куб на две одинаковые пирамиды, так как сечение проходит через вершину v1 и разделевает базу пополам.

Теперь рассмотрим каждую пирамиду отдельно. Пирамида - это трехмерная фигура, у которой основание - это плоская фигура, а вершина находится выше этой плоскости.

Плоскость сечения является прямоугольным треугольником в плоскости основания куба. Чтобы найти его площадь, нужно знать длину и ширину треугольника.

Длина треугольника равна длине диагонали прямоугольного треугольника acad, где a - это ребро куба. Для нахождения этой длины, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} \]

Ширина треугольника равна длине отрезка, соединяющего точку сечения с центром основания куба (см. рисунок). Для нахождения этой ширины нам нужно найти половину диагонали основания c, так как сечение разделяет основание пополам.

Для нахождения этой половины диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ c" = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} \]

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:

\[ S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot c" = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3a^2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 \]

Так как сечение делит куб на две одинаковые части, площадь сечения умножается на 2:

\[ S_{\text{сечения всего куба}} = 2 \cdot S_{\text{сечения}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 = \sqrt{3} \cdot a^2 \]

Теперь давайте найдем площадь поверхности куба. Поверхность куба состоит из шести квадратов, каждый из которых имеет сторону, равную длине ребра a. Таким образом, площадь поверхности куба равна:

\[ S_{\text{поверхности куба}} = 6 \cdot a^2 \]

Таким образом, ответ на задачу: площадь сечения куба с ребром a, если через диагональ основания ac и вершину v1 проведено сечение, составляет \(\sqrt{3} \cdot a^2\), а площадь поверхности куба составляет \(6 \cdot a^2\).