Какова площадь ромба с заданными размерами: 1) сторона равна 1,8 дм и острый угол равен 30 градусам? 2) высота равна

1) Площадь ромба может быть вычислена по формуле: \( S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали ромба.

Чтобы найти площадь ромба с заданными размерами, нужно сначала найти длину диагоналей. Для решения данной задачи, используем теорему синусов для треугольника.

Рассмотрим ромб с острой вершиной. Известно, что одна сторона ромба равна 1,8 дм, а острый угол равен 30 градусам. Так как в ромбе все стороны равны, то и другая сторона тоже равна 1,8 дм.

Чтобы найти длину диагонали, можно использовать теорему синусов для треугольника, где сторона противолежащая острому углу равна половине длины большей диагонали.

Подставим известные значения в формулу:

\[
\sin 30^\circ = \frac{{1,8/2}}{{d_2}}
\]

\[
\frac{1}{2} = \frac{{0,9}}{{d_2}}
\]

Отсюда получаем значение \( d_2 \):

\[
d_2 = \frac{{0,9}}{{\frac{1}{2}}} = 1,8 \, \text{дм}
\]

Таким образом, обе диагонали равны 1,8 дм.

Теперь, чтобы найти площадь ромба, подставим значения диагоналей в формулу площади ромба:

\[
S = \frac{{1,8 \cdot 1,8}}{2} = \frac{{3,24}}{2} = 1,62 \, \text{кв. дм}
\]

Ответ: Площадь ромба с заданными размерами (сторона 1,8 дм, острый угол 30 градусов) равна 1,62 квадратных дециметра.

2) В данной задаче известна высота ромба и значение острого угла.

Для вычисления площади ромба, нужно знать длину его диагоналей. Так как задан острый угол и высота, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

В ромбе тангенс угла равен отношению высоты к половине длины большей диагонали.

\(\tan 30^\circ = \frac{{h}}{{\frac{{d_2}}{2}}}\)

Мы знаем, что tan 30° равен 1/√3.

\(\frac{{1}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{h}}{{\frac{{d_2}}{2}}}\)

Умножим обе стороны на √3 и получим:

\(\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{h \cdot \sqrt{3}}}{{\frac{{d_2}}{2} \cdot \sqrt{3}}}\)

\(\frac{{\sqrt{3}}}{{3}} = \frac{{h \cdot \sqrt{3}}}{{\frac{{d_2 \cdot \sqrt{3}}}{2}}}\)

\(\frac{{\sqrt{3}}}{{3}} = \frac{{2h}}{{d_2}}\)

Мы знаем, что отношение высоты к половине длины большей диагонали в ромбе составляет \(\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}\).

Теперь, чтобы найти площадь ромба, можно воспользоваться формулой площади:

\(S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\)

Подставим известные значения в формулу:

\(S = \frac{{h \cdot \frac{{2h}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{3}}}}}}{2}\)

\(S = \frac{{2h^2 \cdot \frac{{3}}{{\sqrt{3}}}}}{2}\)

\(S = \frac{{h^2 \cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\)

\(S = h^2\)

Ответ: Площадь ромба с заданными размерами (высота 16 см, острый угол 30 градусов) равна 256 квадратных сантиметров.