Какова площадь ромба с высотой 2 и острым углом, измеренным в 30 градусов?

Конечно! Чтобы найти площадь ромба, нам понадобится знание формулы для вычисления площади и свойства ромба.

Формула для вычисления площади ромба:

\[S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2},\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

Сначала нам нужно найти диагонали ромба. Для этого, поскольку у нас есть высота и острый угол, мы можем использовать свойства треугольников. Разделим ромб на два равнобедренных треугольника, используя его высоту.

Теперь, поскольку ромб имеет диагонали, проходящие через его вершины, и найдя одну из его диагоналей, мы можем найти площадь, используя формулу.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Разделим ромб на два равнобедренных треугольника, используя высоту 2. Получаем два треугольника с основанием 2 и острым углом в 30 градусов.

Шаг 2: Рассчитаем высоту треугольника. Для этого воспользуемся формулой:

\[h = \text{{основание}} \times \sin(\text{{угол}})\]

Подставим значения:

\[h = 2 \times \sin(30^\circ)\]

\[h = 2 \times \frac{1}{2}\]

\[h = 1\]

Таким образом, высота треугольника равна 1.

Шаг 3: Рассчитаем длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника:

Так как угол в треугольнике равен 30 градусам, у нас есть равнобедренный треугольник, следовательно, угол между основанием и любой стороной равен 75 градусам.

Длина одной стороны треугольника (высота равнобедренного треугольника): \(1\).

Пусть \(x\) - одна из коротких сторон треугольника.

Применяем теорему Пифагора:

\[x^2 = 1^2 + x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x \cdot \cos(75^\circ)\]

причем \(\cos(75^\circ) = \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)

Раскроем скобки и выразим \(x\):

\[x^2 = 1 + x^2 - 2x \cdot \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)\]

\[-x^2 + 2x \cdot \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) - 1 = 0\]

Упростим это уравнение:

\[-x^2 + x\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\right) - 1 = 0\]

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена:

\[x = \frac{-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\right)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1)}}{-2}\]

Это даёт нам два решения:

\[x_1 \approx 1.61\]
\[x_2 \approx -0.61\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы берем \(x_1\).

Шаг 4: Найдем диагонали ромба, используя стороны треугольника:

\[d_1 = 2x_1 \approx 2 \times 1.61\]
\[d_2 = 2 \times 1 \approx 2\]

Шаг 5: Подставим значения диагоналей в формулу площади ромба:

\[S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2} = \frac{{2 \times 2 \times 1.61}}{2} \approx 3.22\]

Таким образом, площадь ромба с высотой 2 и острым углом в 30 градусов равна примерно 3.22.

Мы провели все шаги от вычисления длины сторон треугольника до вычисления площади ромба, чтобы ответ был понятен школьнику.