Какова площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 103-√ мм? Каков радиус окружности, вписанной в этот

Для начала, давайте найдем площадь равностороннего треугольника со стороной длиной \(103 - \sqrt{3}\) мм.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\]

где \(S\) - площадь треугольника, а \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим данное значение длины стороны:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (103 - \sqrt{3})^2\]

Вычислим это выражение:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (103 - \sqrt{3})^2 \approx 1736.384\text{ мм}^2\]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника со стороной длиной \(103 - \sqrt{3}\) мм составляет примерно 1736.384 мм².

Теперь рассмотрим вписанную окружность. В равностороннем треугольнике, вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника. Радиус вписанной окружности можно найти, используя следующую формулу:

\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, а \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим данное значение длины стороны:

\[r = \frac{103 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\]

Simplify by rationalizing the denominator:

\[r = \frac{(103 - \sqrt{3})\sqrt{3}}{6}\]

Вычислим это выражение:

\[r \approx 29.666\text{ мм}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной длиной \(103 - \sqrt{3}\) мм составляет приблизительно 29.666 мм.

Наконец, рассмотрим описанную окружность. Описанная окружность равностороннего треугольника проходит через вершины треугольника. Радиус описанной окружности можно найти, используя следующую формулу:

\[R = \frac{a}{2}\]

где \(R\) - радиус описанной окружности, а \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим данное значение длины стороны:

\[R = \frac{103 - \sqrt{3}}{2}\]

Вычислим это выражение:

\[R \approx 51.5\text{ мм}\]

Таким образом, радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной длиной \(103 - \sqrt{3}\) мм составляет примерно 51.5 мм.