Какова площадь равнобокой трапеции с основаниями 6 см и 26 см, если её тупые углы разделяются пополам диагоналями?

Чтобы решить эту задачу, давайте используем свойства равнобокой трапеции и приложим некоторую геометрическую логику.

Нам дана равнобокая трапеция с основаниями 6 см и 26 см. По определению, равнобокая трапеция имеет две пары равных сторон и одну пару параллельных оснований. В нашем случае, это стороны трапеции равны 6 см и 26 см, а основания параллельны.

Также в условии задачи сказано, что тупые углы равнобокой трапеции разделяются пополам диагоналями. Поэтому мы можем предположить, что диагонали трапеции пересекаются в её центре и делят её на четыре равных треугольника.

Рассмотрим два из этих треугольников. У каждого из них основание равно половине одного основания трапеции, то есть 6 см/2 = 3 см. Ещё по условию задачи мы знаем, что у треугольников тупой угол раздваивается диагоналями равнобокой трапеции. Значит, это угол в 90 градусов.

Мы можем посчитать площадь одного из этих треугольников, используя формулу площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \times \text{{основание}} \times \text{{высота}}\). В нашем случае, у треугольника основание равно 3 см, а нам нужно найти высоту.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти высоту треугольника. Так как у него один угол равен 90 градусам, а другой 45 градусов (т.к. тупой угол раздваивается диагоналями), то третий угол будет равен 45 градусам. Так как треугольник является прямоугольным и угол равен 45 градусам, то его стороны пропорциональны. Таким образом, можно применить отношение сторон прямоугольного треугольника, по которому сторона, прилегающая к углу в 45 градусов, равна \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) от гипотенузы.

Так как основание треугольника равно 3 см, то гипотенуза равна 3 см и сторона, прилегающая к углу в 45 градусов, равна \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) см. Эта сторона будет высотой для суждаемого треугольника и, следовательно, для равнобокой трапеции.

Теперь осталось только вычислить площадь треугольника по формуле \(S = \frac{1}{2} \times \text{{основание}} \times \text{{высота}}\):
\[S = \frac{1}{2} \times 3 \, \text{{см}} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \, \text{{см}}\]
\[S = \frac{9}{2\sqrt{2}} \, \text{{см}}^2\]

Так как наша равнобокая трапеция делится на 4 равных треугольника диагоналями, то общая площадь трапеции равна площади одного треугольника, умноженной на 4:
\[S_{\text{{трапеции}}} = 4 \times \frac{9}{2\sqrt{2}} \, \text{{см}}^2\]
\[S_{\text{{трапеции}}} = \frac{18}{\sqrt{2}} \, \text{{см}}^2\]
\[S_{\text{{трапеции}}} = 9\sqrt{2} \, \text{{см}}^2\]

Итак, площадь равнобокой трапеции с заданными основаниями 6 см и 26 см, и раздваивающими пополам тупыми углами диагоналями, составляет \(9\sqrt{2} \, \text{{см}}^2\).