Какова площадь прямоугольного треугольника, в котором биссектриса угла делит один из катетов на отрезки длиной 1 см

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы ответ был максимально понятен.

Первым шагом для решения задачи будет найти длину биссектрисы угла. Мы знаем, что биссектриса делит один из катетов прямоугольного треугольника на две равные части, поэтому каждая часть будет иметь длину 1 см.

Теперь обозначим длину катета прямоугольного треугольника, который не делится биссектрисой, как \(a\). Таким образом, мы имеем две равные части катета длиной 1 см каждая и катет длиной \(a\) см.

Следующим шагом будет найти длину биссектрисы угла. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике, где один из катетов равен 1 см, гипотенузу \(c\) и другой катет \(a\) связывает следующее соотношение:

\[c^2 = a^2 + 1^2\]

Теперь найдем длину гипотенузы \(c\). Для этого возведем оба выражения в квадрат:

\[c^2 = a^2 + 1\]

Приравнивая это к уравнению выше, получим:

\[c^2 = a^2 + 1^2\]

\[c^2 = a^2 + 1\]

Теперь мы можем найти значение \(c\), найдя квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[\sqrt{c^2} = \sqrt{a^2 + 1}\]

\[c = \sqrt{a^2 + 1}\]

Таким образом, биссектриса угла имеет длину \(\sqrt{a^2 + 1}\) см.

Наконец, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, мы можем использовать формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет} \cdot \text{катет}\]

Применяя эту формулу, мы получаем:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 + 1}\]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника, в котором биссектриса угла делит один из катетов на отрезки длиной 1 см, равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 + 1}\) квадратных сантиметров.