Какова площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30, вписанного в окружность, описанную вокруг квадрата

Для решения данной задачи необходимо использовать некоторые геометрические свойства прямоугольного треугольника, окружности и квадрата.

Лучше всего начать с построения схемы проблемы:

1. Начнем с построения квадрата со стороной \(a\). Поскольку квадрат описан около окружности, то радиус окружности будет равен половине стороны квадрата.
\[r = \frac{a}{2}\]

2. Также, для вписанного в окружность прямоугольного треугольника с острым углом 30 градусов (угол BAC) и сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), мы можем использовать следующие свойства:
- Острый угол прямоугольного треугольника (30 градусов) соответствует четвертой части полного угла (90 градусов) в центральном углу окружности.
- Биссектриса угла BAC также является медианой и высотой данного треугольника.

Из этих свойств получаем, что угол BCA равен 60 градусов.

3. Теперь мы можем использовать теорему синусов в прямоугольном треугольнике ABC:
\[\frac{a}{\sin{(30^\circ)}} = \frac{c}{\sin{(60^\circ)}}\]
Подставив значение синусов и перегруппировав, получим:
\[c = 2a\]

4. Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c\). Подставим выражение для \(c\):
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = a^2\]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30, вписанного в окружность, описанную вокруг квадрата со стороной \(a\), равна \(a^2\).

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как найти площадь данного треугольника. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!