Какова площадь прямоугольного равнобедренного треугольника, если средняя линия параллельна гипотенузе и имеет длину

Для решения данной задачи нам понадобится некоторое знание о прямоугольных равнобедренных треугольниках и их свойствах.

Прямоугольный равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого одна из сторон является гипотенузой, а две другие стороны - равными катетами.

В данной задаче средняя линия параллельна гипотенузе и имеет длину 4 см. Давайте обозначим катеты треугольника как a, а гипотенузу - как c. Также обозначим длину средней линии как m. Нам известно, что средняя линия прямоугольного равнобедренного треугольника делится на две равные части, каждая из которых равна половине гипотенузы.

Мы можем записать это следующим образом: \(m = \frac{c}{2}\).

Также у нас есть теорема Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \(a^2 + a^2 = c^2\). Учитывая, что треугольник равнобедренный, мы можем записать это так: \(2a^2 = c^2\).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Мы можем использовать их, чтобы найти значения a и c.

Для этого сначала найдем c, используя уравнение \(m = \frac{c}{2}\):

\[\frac{c}{2} = 4\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

\[c = 2 \cdot 4\]
\[c = 8\]

Теперь, зная значение c, мы можем найти a, используя уравнение \(2a^2 = c^2\):

\[2a^2 = 8^2\]

Разделим обе части на 2, чтобы избавиться от множителя:

\[a^2 = \frac{8^2}{2}\]

Вычислим значение в числах:

\[a^2 = \frac{64}{2}\]
\[a^2 = 32\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[a = \sqrt{32}\]

Применим сокращение внутри корня:

\[a = \sqrt{16 \cdot 2}\]
\[a = 4 \sqrt{2}\]

Таким образом, мы нашли значения a и c. Теперь рассчитаем площадь прямоугольного равнобедренного треугольника, используя формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\):

\[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} \cdot 4 \sqrt{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\]
\[S = 16\]

Таким образом, площадь прямоугольного равнобедренного треугольника равна 16 квадратным сантиметрам.