Какова площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для площади правильного шестиугольника и формулы для площади прямоугольного треугольника.

Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:
\[S_{\text{ш}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\]
где \(S_{\text{ш}}\) - площадь шестиугольника, \(a\) - длина его стороны.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2}ab\]
где \(S_{\text{тр}}\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

Дано, что у нас прямоугольный треугольник с одним катетом длиной \(a\). Поэтому мы можем найти другой катет с помощью теоремы Пифагора:
\[c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\]
где \(c\) - длина второго катета треугольника.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольного треугольника, подставив значения в формулу:
\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a\sqrt{2}) = \frac{1}{2}a^2\sqrt{2}\]

Таким образом, мы нашли площадь прямоугольного треугольника \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2}a^2\sqrt{2}\).

Теперь нужно найти площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник. По определению, вписанный правильный шестиугольник охватывает окружность, и его стороны касаются ее внутренней поверхности. Поэтому радиус окружности, описывающей шестиугольник, равен радиусу окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
\[r = \frac{a}{2}\]

Теперь мы можем найти площадь правильного шестиугольника, вписанного около окружности. Эта площадь будет равна сумме площади прямоугольного треугольника и площади трех одинаковых секторов окружности, которые составляют шестиугольник:
\[S_{\text{ш}} = S_{\text{тр}} + 3 \cdot S_{\text{с}}\]
где \(S_{\text{ш}}\) - площадь шестиугольника, \(S_{\text{тр}}\) - площадь треугольника, \(S_{\text{с}}\) - площадь сектора окружности.

Площадь сектора окружности можно найти по формуле:
\[S_{\text{с}} = \frac{\pi r^2}{6}\]

Подставим значения в формулу:
\[S_{\text{ш}} = \frac{1}{2}a^2\sqrt{2} + 3 \cdot \frac{\pi (\frac{a}{2})^2}{6} = \frac{1}{2}a^2\sqrt{2} + \frac{\pi a^2}{8}\]

Итак, площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник с одним катетом длиной \(a\), равна \(\frac{1}{2}a^2\sqrt{2} + \frac{\pi a^2}{8}\).