Какова площадь правильного пятиугольника, если его сторона равна 3 см, а радиус вписанной окружности равен...?

Для решения этой задачи, нам необходимо воспользоваться определенными свойствами правильного пятиугольника и вписанной окружности.

Сначала вспомним, что правильный пятиугольник имеет все стороны равными между собой и все углы равными.

Согласно геометрическим свойствам, в равностороннем треугольнике высота и радиус вписанной окружности пересекаются в одной точке и делятся друг другом в отношении 2:1.

Поэтому, как только мы найдем высоту равностороннего треугольника, мы сможем найти радиус вписанной окружности.

Поскольку сторона правильного пятиугольника равна 3 см, нам нужно вычислить высоту треугольника.

Для этого разобьем равносторонний треугольник на два равносторонних треугольника, соответствующих одной из его сторон и высоте. Получившиеся треугольники будут равнобедренными.

Чтобы найти высоту одного из таких треугольников, можно использовать теорему Пифагора.

Пусть \( h \) - высота треугольника, а \( s \) - его сторона.

Тогда по теореме Пифагора получаем:
\[ h^2 = s^2 - \left( \frac{s}{2} \right)^2 = \frac{3s^2}{4} \]

Теперь мы можем найти высоту треугольника, зная его сторону:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}s \]

Итак, у нас есть высота равностороннего треугольника, которая также является радиусом вписанной окружности, так как они пересекаются в одной точке.

Теперь мы можем приступить к вычислению площади правильного пятиугольника.

Площадь правильного пятиугольника можно найти, используя следующую формулу:
\[ S = \frac{5}{4} a^2 \cot \left( \frac{\pi}{5} \right) \]

где \( a \) - длина стороны пятиугольника, а \( \pi \) - число Пи (π).

Подставив значения в формулу, получим:
\[ S = \frac{5}{4} \cdot 3^2 \cdot \cot \left( \frac{\pi}{5} \right) \]

Таким образом, площадь правильного пятиугольника равна \( \frac{15}{4} \cot \left( \frac{\pi}{5} \right) \) квадратных сантиметров.

Обратите внимание, что значение функции \( \cot \left( \frac{\pi}{5} \right) \) является десятичной дробью и может быть приближенным значением, которое можно посчитать с помощью калькулятора или программы для научных вычислений.