Какова площадь поверхности треугольной пирамиды, где боковое ребро составляет 8 см и наклонено под углом 60 градусов

Для решения этой задачи нам понадобится знание геометрии и формулы, связанной с площадью поверхности треугольной пирамиды.

Площадь поверхности треугольной пирамиды можно найти, сложив площади основания и боковой поверхности. Для нашей задачи нам известны одно боковое ребро и угол между этим ребром и плоскостью основания.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. В данной задаче нам не даны информация о форме основания, поэтому мы предположим, что основание пирамиды — равносторонний треугольник. Рассмотрим следующую картинку для наглядности:

\[ \text{Вставить рисунок: равносторонний треугольник ABC, где B - вершина пирамиды, а AC = 8 см и угол между BC и плоскостью основания равен 60 градусов.} \]

В треугольнике ABC у нас есть одно из боковых ребер пирамиды, которое соединяет вершину пирамиды (точка B) с основанием (точка A). Обозначим эту длину как \(a\), а длину основания треугольника ABC обозначим как \(b\).

Мы знаем, что \(a = 8 \, \text{см}\), а угол между \(a\) и \(b\) — 60 градусов. Если треугольник ABC равносторонний, то угол между любым ребром и плоскостью основания также будет 60 градусов.

Для вычисления площади равностороннего треугольника мы можем использовать формулу:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{{b^2 \sqrt{3}}}{4} \]

Здесь \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания треугольной пирамиды, \(b\) — длина основания (сторона треугольника).

Подставим известные значения:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{{8^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{64 \sqrt{3}}}{4} = 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Для этого нам понадобится найти длину бокового ребра пирамиды (\(l\)). Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти \(l\):

\[ l^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{60^\circ} \]

Подставим значения:

\[ l^2 = 8^2 + b^2 - 2 \cdot 8 \cdot b \cdot \frac{1}{2} \]
\[ l^2 = 64 + b^2 - 8b \]
\[ l^2 = b^2 - 8b + 64 \]

Так как в нашем треугольнике \(AB = l\), \(BC = a\), то \(AC = b + a = b + 8\), и мы можем преобразовать уравнение:

\[ l^2 = (b + 8)^2 - 8(b + 8) + 64 \]
\[ l^2 = b^2 + 16b + 64 - 8b - 64 + 64 \]
\[ l^2 = b^2 + 8b \]

Теперь у нас есть площадь боковой поверхности пирамиды, которую мы можем выразить через длину бокового ребра и длину основания:

\[ S_{\text{пов}} = \frac{{l \cdot b}}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ S_{\text{пов}} = \frac{{8 \cdot b}}{2} = 4b \, \text{см}^2 \]

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{пов}} \]
\[ S_{\text{полн}} = 16\sqrt{3} + 4b \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь поверхности треугольной пирамиды равна \(16\sqrt{3} + 4b \, \text{см}^2\), где \(b\) — длина основания треугольника.