Какова площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом длиной 3 см и гипотенузой

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для площади поверхности вращения. Эта формула гласит:
\[ S = 2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + (f"(x))^2} \, dx \]

В нашем случае, мы вращаем треугольник вокруг его меньшего катета длиной 3 см. Это означает, что меньший катет будет функцией \( f(x) = x \), где \( x \) - это переменная, представляющая длину отрезка на меньшем катете.

Так как у нас треугольник прямоугольный, его гипотенуза длиной 6 см будет являться верхней границей интеграла, а нижняя граница будет равна 0.

После этого нам нужно найти производную функции \( f(x) \), то есть \( f"(x) \). В нашем случае, \( f"(x) \) равна 1.

Итак, подставим это все в формулу для площади поверхности вращения:

\[ S = 2 \pi \int_{0}^{6} x \sqrt{1 + (1)^2} \, dx \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ S = 2 \pi \int_{0}^{6} x \sqrt{2} \, dx \]

Интегрируем это выражение:

\[ S = 2 \pi \left[ \frac{1}{2} \sqrt{2}x^2 \right]_0^6 \]

Подставим границы интегрирования и вычислим:

\[ S = 2 \pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{2}(6^2) - \frac{1}{2} \sqrt{2}(0^2) \right) \]

Упростим это:

\[ S = 2 \pi \left( 18\sqrt{2} - 0 \right) \]

\[ S = 36 \pi \sqrt{2} \]

Таким образом, площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом длиной 3 см и гипотенузой длиной 6 см вокруг его меньшего катета, равна \( 36 \pi \sqrt{2} \) квадратных сантиметров.