Какова площадь поверхности тела, получаемого в результате вращения отрезка МК - средней линии треугольника

13 см?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для нахождения площади поверхности тела вращения. Формула имеет вид:

\[S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f"(x))^2} dx\]

В данном случае, отрезок МК - средняя линия треугольника АК, поэтому как исходные данные у нас есть длины сторон треугольника АВ, АС и ВС, равные соответственно 15 см, 14 см и 13 см.

Нам нужно найти функцию y = f(x), которая будет задавать среднюю линию треугольника. Для этого можно использовать формулу для координаты средней линии треугольника, которая равна среднему арифметическому значению ординат вершин:

\[f(x) = \frac{1}{3}(y_A + y_B + y_C)\]

В данной задаче у нас нет явно заданных координат вершин треугольника, но у нас есть длины его сторон и мы можем воспользоваться формулой Герона для нахождения площади треугольника:

\[S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}\]

где p - полупериметр треугольника, равный \(\frac{AB + AC + BC}{2}\).

Мы можем выразить p и S, используя исходные данные:

\[p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{15 + 14 + 13}{2}\]
\[S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = \sqrt{p(p - 15)(p - 14)(p - 13)}\]

Теперь у нас есть функция f(x) и мы можем использовать формулу для нахождения площади поверхности тела вращения. Нам нужно найти интеграл от \(f(x) \sqrt{1 + (f"(x))^2}\) на отрезке от M до K.

Для нахождения f"(x) можно использовать производную от функции f(x), которая равна:

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3}(y_A + y_B + y_C)\right)\]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности тела вращения, нам нужно вычислить интеграл:

\[S = 2\pi \int_M^K f(x) \sqrt{1 + (f"(x))^2} dx\]

Этот интеграл может быть вычислен численными методами или аналитически, если известны значения координат точек M и K.

Теперь, когда мы получили основные шаги и формулы для решения задачи, мы можем приступить к вычислениям и получить точный ответ.