Какова площадь поверхности фигуры, полученной после отколки всех вершин октаэдра, так что у неё 6 граней - квадраты

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить площадь поверхности новой фигуры, полученной после отколки вершин октаэдра.

Давайте начнем с определения формулы для площади поверхности октаэдра.

Октаэдр состоит из 8 граней, которые являются правильными шестиугольниками, и 6 граней, которые являются квадратами. Для каждой из этих граней, площадь можно вычислить по отдельности.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить с помощью формулы:

\[Площадь\,шестиугольника = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}\]

где \(a\) - длина стороны шестиугольника.

Площадь квадрата можно вычислить с помощью формулы:

\[Площадь\,квадрата = a^2\]

где \(a\) - длина стороны квадрата.

Теперь найдем длину стороны квадрата и шестиугольника в нашей задаче.

Поскольку длина ребра октаэдра равна 21 единице, то каждая сторона квадрата будет равна длине ребра октаэдра, то есть \(a = 21\).

Также, длина стороны шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:

\(a = \frac{2r}{\sqrt{3}}\)

где \(r\) - радиус вписанной окружности в шестиугольник.

Мы можем найти радиус \(r\) с помощью формулы:

\(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\)

Подставив \(a = 21\) в эти формулы, найдем длину стороны шестиугольника:

\(a = \frac{2 \cdot 21}{\sqrt{3}} \approx 24.25\)

Теперь, когда у нас есть значения сторон квадрата и шестиугольника, мы можем вычислить площадь каждой грани отдельно и затем сложить их для получения итоговой площади поверхности.

Площадь правильного шестиугольника равна:

\[Площадь\,шестиугольника = \frac{3\sqrt{3} \cdot 24.25^2}{2} \approx 997.12\]

Площадь квадрата равна:

\[Площадь\,квадрата = 21^2 = 441\]

Так как у нас есть 8 шестиугольников и 6 квадратов, мы можем умножить площадь каждой грани на соответствующее количество граней и сложить их, чтобы получить общую площадь поверхности:

\[Площадь\,поверхности = 997.12 \cdot 8 + 441 \cdot 6 = 23805.76\]

Итак, площадь поверхности новой фигуры равна приблизительно \(23805.76\) квадратных единиц.