Какова площадь поверхности цилиндра, который имеет окружность, описанную вокруг прямоугольного треугольника с катетами

Для нахождения площади поверхности цилиндра, мы должны сначала найти площадь окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, а затем добавить к ней площадь квадратной боковой поверхности.

1. Найдем площадь прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника равна \(Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\). В данном случае, основание - это один из катетов, равный 6 см, а высота - другой катет, равный 18 см. Подставим значения в формулу: \(Площадь = \frac{1}{2} \times 6 \times 18\). Решим эту формулу, чтобы получить площадь прямоугольного треугольника.

\(Площадь = \frac{1}{2} \times 6 \times 18 = 54\ см^2\)

2. Найдем площадь окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника. Для этого воспользуемся формулой площади окружности: \(Площадь = \pi \times радиус^2\). Окружность описанная вокруг прямоугольного треугольника имеет радиус, равный гипотенузе этого треугольника. Используя теорему Пифагора, найдем значения гипотенузы: \(гипотенуза = \sqrt{ катет_1^2 + катет_2^2}\). Подставим значения катетов в эту формулу: \(гипотенуза = \sqrt{6^2 + 18^2}\). Решим эту формулу, чтобы получить значение гипотенузы.

\(гипотенуза = \sqrt{6^2 + 18^2} = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\)

Теперь, используем значение гипотенузы, чтобы найти площадь окружности.
\(Площадь = \pi \times радиус^2 = \pi \times (6\sqrt{10})^2 = 36\pi \times 10 = 360\pi\)

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Квадратная боковая поверхность цилиндра имеет ту же площадь, что и площадь прямоугольного треугольника, которую мы уже нашли. Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 54 \(см^2\).

4. И, наконец, найдем общую площадь поверхности цилиндра, сложив площадь окружности и площадь боковой поверхности.
\(Площадь = площадь\ окружности + площадь\ боковой\ поверхности = 360\pi + 54\)

Таким образом, площадь поверхности цилиндра составляет \(360\pi + 54\) \(см^2\).