Какова площадь полной поверхности параллелепипеда, если его основание - ромб со стороной а, угол ВАD равен 60 градусов

Для решения задачи о площади полной поверхности параллелепипеда, основание которого - ромб, нам понадобится использовать несколько свойств геометрии. Давайте подробно разберем эту задачу.

Пусть сторона основания ромба равна \(a\). Также, обозначим точки: \(A\) - вершина ромба, \(B\) и \(D\) - точки на сторонах ромба, такие что \(AB\) пересекает \(AD\) под углом 60 градусов (так как задача говорит, что угол \(BAD\) равен 60 градусов), и \(B₁\) - точка на диагонали \(BD\), такая что угол между \(B₁D\) и плоскостью боковой грани составляет 45 градусов.

Учитывая эти обозначения, наша задача состоит в вычислении площади полной поверхности параллелепипеда. Под площадью полной поверхности понимается сумма площадей всех его граней.

Для начала найдем площадь основания ромба. Для ромба площадь можно вычислить по формуле \(S = \frac{{d₁ \cdot d₂}}{2}\), где \(d₁\) и \(d₂\) - диагонали ромба. В данном случае диагонали ромба равны \(a\), так как все стороны ромба равны между собой. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_{\text{ромба}} = \frac{{a \cdot a}}{2} = \frac{{a^2}}{2}\]

Теперь обратимся к параллелепипеду. У параллелепипеда есть 6 граней: 2 основания (ромба) и 4 боковые грани. Грани ромбов имеют площади, равные площади основания ромба, то есть \(\frac{{a^2}}{2}\).

Теперь осталось найти площади боковых граней. Боковая грань параллелепипеда - это прямоугольник, у которого одна сторона равна стороне основания ромба (\(a\)), а другая сторона - диагональ параллелепипеда (\(BD\)). Мы знаем, что угол между \(B₁D\) и плоскостью боковой грани равен 45 градусов, поэтому диагональ параллелепипеда (\(BD\)) будет равна \(\sqrt{2} \cdot B₁D\).

Таким образом, площадь каждой боковой грани равна \(a \cdot \sqrt{2} \cdot B₁D\), а таких граней 4 штуки.

Суммируя площади всех граней, получаем площадь полной поверхности параллелепипеда:

\[S_{\text{поверхности}} = 2 \cdot S_{\text{ромба}} + 4 \cdot (a \cdot \sqrt{2} \cdot B₁D) = 2 \cdot \frac{{a^2}}{2} + 4 \cdot (a \cdot \sqrt{2} \cdot B₁D) = a^2 + 4aB₁D\sqrt{2}\]

Таким образом, формула для вычисления площади полной поверхности параллелепипеда с ромбовидным основанием будет:

\[S_{\text{поверхности}} = a^2 + 4aB₁D\sqrt{2}\]