Какова площадь полной поверхности конуса, у которого осевое сечение является треугольником со стороной, равной 8

Для решения данной задачи о площади полной поверхности конуса, сначала нам необходимо найти высоту и радиус основания конуса.

У нас есть осевое сечение конуса, которое является треугольником со стороной 8 см и прилежащим углом 120 градусов. Для нахождения высоты треугольника, мы можем использовать формулу:
\[h = a \cdot \sin(\alpha)\]
где \(h\) - высота треугольника, \(a\) - сторона треугольника, \(\alpha\) - прилежащий угол.

Подставив известные значения в формулу, получим:
\[h = 8 \cdot \sin(120°)\]

Чтобы найти радиус основания конуса, нам понадобится использовать формулу для радиуса описанной окружности в треугольнике:
\[R = \frac{a}{2 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}\]
где \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\) - сторона треугольника, \(\alpha\) - прилежащий угол.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[R = \frac{8}{2 \cdot \sin(\frac{120°}{2})}\]

После нахождения высоты и радиуса основания, мы можем вычислить полную поверхность конуса, используя следующую формулу:
\[S = \pi \cdot R \cdot (R + l)\]
где \(S\) - площадь полной поверхности конуса, \(R\) - радиус основания, \(l\) - образующая конуса.

Образующая конуса может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:
\[l = \sqrt{h^2 + R^2}\]

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить их в формулу площади полной поверхности конуса и рассчитать ответ.

Я рассчитаю значения для вас.

Первым делом, находим высоту треугольника:
\[h = 8 \cdot \sin(120°) = 8 \cdot \sin(2 \pi / 3) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 6.93\, \text{см}\]

Затем, находим радиус основания конуса:
\[R = \frac{8}{2 \cdot \sin(\frac{120°}{2})} = \frac{8}{2 \cdot \sin(60°)} = \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62\, \text{см}\]

Теперь, найдем образующую конуса:
\[l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{(4 \cdot \sqrt{3})^2 + (\frac{8}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{48 + \frac{64}{3}} = \sqrt{\frac{144}{3} + \frac{64}{3}} = \sqrt{\frac{208}{3}} \approx 8.49\, \text{см}\]

Наконец, вычисляем площадь полной поверхности конуса:
\[S = \pi \cdot R \cdot (R + l) = \pi \cdot 4.62 \cdot (4.62 + 8.49) \approx 166.84\, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса составляет около 166.84 квадратных сантиметров.