Какова площадь полной поверхности конуса, у которого образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°, а

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, мы должны разбить ее на две части: площадь боковой поверхности и площадь основания.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти с помощью формулы \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - образующая. В данной задаче величина образующей нам дана под углом 60° к основанию конуса. Обратите внимание, что треугольник, который описывает основание конуса, является равносторонним. Значит, все его стороны равны 8 см.

Так как у нас дан противолежащий угол в 30°, то мы можем использовать формулу синуса \(\sin(\alpha) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\) для нахождения высоты треугольника и образующей конуса. По формуле \(\sin(30°) = \frac{h}{8}\) можно выразить высоту \(h\). Подставив значение синуса, получим:

\[\frac{1}{2} = \frac{h}{8}.\]

Умножим обе стороны уравнения на 8:

\[4 = h.\]

Теперь у нас есть значение высоты \(h\) равное 4 см. Мы также знаем, что образующая наклонена под углом 60°. В таком случае, найдем ее значение, применив формулу косинуса \(\cos(\alpha) = \frac{{\text{прилежащий катет}}}{\text{гипотенуза}}\). По формуле \(\cos(60°) = \frac{r}{8}\) можно выразить радиус \(r\). Подставив значение косинуса и умножив обе стороны уравнения на 8, получим:

\[\frac{1}{2} = \frac{r}{8}.\]

\[4 = r.\]

Таким образом, радиус основания конуса равен 4 см. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, подставив известные значения в формулу:

\[S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi \approx 50.27 \, \text{см}^2.\]

Для нахождения площади основания, будем использовать формулу площади равностороннего треугольника \(S_{\text{осн}} = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника. Подставляя значение стороны (\(a = 8\)) в формулу, получаем:

\[S_{\text{осн}} = \frac{{8^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{64 \sqrt{3}}}{4} = 16\sqrt{3} \approx 27.71 \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 16\pi + 16\sqrt{3} \approx 50.27 + 27.71 \approx 77.98 \, \text{см}^2.\]

Ответ: площадь полной поверхности данного конуса равна примерно 77.98 см².