Какова площадь полной поверхности конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°?

30°.
Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам понадобится знать радиус основания и образующую конуса.

Начнем с радиуса основания. Поскольку в треугольнике, вписанном в основание конуса, одна сторона равна 19 см, а противолежащий ей угол равен 30°, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти радиус. В данном случае, нам нужно использовать тангенс:

\[\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\]

Мы знаем, что противолежащий катет равен радиусу основания, а прилежащий катет равен половине стороны треугольника. Подставим величины:

\[\tan(30^\circ) = \frac{r}{\frac{19}{2}}\]

Упростим это уравнение, умножив обе стороны на \(\frac{19}{2}\):

\[r = \frac{19}{2}\tan(30^\circ)\]

Теперь нам нужно найти образующую конуса. У нас есть угол между образующей и плоскостью основания, который равен 60°. Образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти ее. В этом случае, используем синус:

\[\sin(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

Мы знаем, что противолежащий катет равен радиусу, а гипотенуза равна образующей. Подставим величины:

\[\sin(60^\circ) = \frac{r}{\text{образующая}}\]

Теперь выразим образующую:

\[\text{образующая} = \frac{r}{\sin(60^\circ)}\]

Подставим значение \(r\), которое мы уже нашли:

\[\text{образующая} = \frac{\frac{19}{2}\tan(30^\circ)}{\sin(60^\circ)}\]

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания конуса равна \(\pi r^2\), а площадь боковой поверхности равна \(\pi r \text{образующая}\). Подставим значения:

Площадь полной поверхности = \(\pi r^2 + \pi r \text{образующая}\)

Выразим это уравнение с подстановкой значений для \(r\) и \(\text{образующей}\):

Площадь полной поверхности = \(\pi \left(\frac{19}{2}\tan(30^\circ)\right)^2 + \pi \left(\frac{19}{2}\tan(30^\circ)\right) \times \left(\frac{\frac{19}{2}\tan(30^\circ)}{\sin(60^\circ)}\right)\)

После всех математических вычислений вы получаете окончательный ответ.