Какова площадь полной поверхности цилиндра, если сечение цилиндра параллельно его оси и проходит от нее на расстоянии

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу подробно.

Дано, что сечение цилиндра параллельно его оси и проходит от нее на расстоянии, равном половине радиуса. Пусть радиус цилиндра будет обозначен как \(r\). Согласно условию, расстояние между осью и сечением будет равно \(\frac{r}{2}\).

Также условие говорит нам, что сечение образует квадрат со стороной, площадь которого составляет 108 квадратных сантиметров. Обозначим сторону квадрата как \(a\).

Для начала восстановим геометрическую ситуацию. Построим ось цилиндра и запишем известные значения:

\[
\begin{align*}
\text{Расстояние между осью и сечением: } & \frac{r}{2} \\
\text{Площадь квадрата: } & 108 \, \text{см}^2
\end{align*}
\]

Теперь давайте найдем сторону квадрата, используя его площадь. Площадь квадрата равна произведению его стороны на себя, то есть \(a^2 = 108\). Чтобы найти сторону квадрата, возьмем корень из обеих сторон уравнения:

\[
a = \sqrt{108}
\]

Таким образом, сторона квадрата равна \(\sqrt{108}\).

Теперь рассмотрим боковую поверхность цилиндра. Она представляет собой прямоугольник, длина которого равна окружности цилиндра, а ширина равна высоте сечения (то есть \(r\)). Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно умножить длину на ширину прямоугольника:

\[
\text{Площадь боковой поверхности} = \text{Длина} \times \text{Ширина}
\]

Длина прямоугольника равна длине окружности цилиндра. Формула для нахождения длины окружности: \(C = 2\pi r\), где \(\pi\) - это число "пи".

Таким образом, длина окружности равна \(2\pi r\). Ширина прямоугольника равна \(r\). Подставим эти значения в формулу:

\[
\text{Площадь боковой поверхности} = (2\pi r) \times r = 2\pi r^2
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi r^2\).

Теперь рассмотрим площадь круговых оснований цилиндра. Каждое основание цилиндра представляет собой круг площадью \(\pi r^2\). У нас есть два основания, поэтому общая площадь оснований будет \(2\pi r^2\).

Наконец, чтобы найти полную поверхность цилиндра, нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь оснований:

\[
\text{Полная поверхность цилиндра} = \text{Площадь боковой поверхности} + \text{Площадь оснований} = 2\pi r^2 + 2\pi r^2 = 4\pi r^2
\]

Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна \(4\pi r^2\).

Я надеюсь, что этот ответ был подробным и понятным. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!