Какова площадь полной поверхности цилиндра, если площадь его осевого сечения составляет 108 квадратных сантиметров

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам понадобится формула. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

\[S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\]

где \(S\) - площадь полной поверхности, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3.14, \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Нам дано, что площадь осевого сечения цилиндра составляет 108 квадратных сантиметров. Осевое сечение цилиндра можно рассматривать как круг радиусом \(r\).

Так как площадь круга равна \(S_{\text{круга}} = \pi r^2\), то из условия задачи мы можем найти радиус основания цилиндра.

Подставим значение площади осевого сечения в формулу площади круга и решим уравнение относительно \(r\):

\[108 = \pi r^2\]

Найдем радиус основания цилиндра:

\[r^2 = \frac{108}{\pi}\]

\[r = \sqrt{\frac{108}{\pi}}\]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса основания цилиндра, нам нужно найти значение образующей цилиндра. По условию задачи образующая втрое меньше диаметра основания, что означает, что длина образующей равна половине длины диаметра.

Пусть \(d\) - диаметр основания цилиндра. Тогда длина образующей \(l\) будет равна \(l = \frac{d}{2}\). Из условия задачи известно, что образующая втрое меньше диаметра, поэтому:

\[l = \frac{d}{2} = \frac{r}{3}\]

Теперь у нас есть значения радиуса основания цилиндра и его образующей. Подставим эти значения в формулу для площади полной поверхности и найдем ее:

\[S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\]

\[S = 2\pi \left(\left(\sqrt{\frac{108}{\pi}}\right)^2\right) + 2\pi \sqrt{\frac{108}{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\frac{108}{\pi}}}{3}\]

\[S = 2\pi \cdot \frac{108}{\pi} + 2\pi \cdot \frac{\sqrt{\frac{108}{\pi}}}{3} \cdot \frac{\sqrt{\frac{108}{\pi}}}{3}\]

\[S = 216 + \frac{2\pi}{9} \cdot \frac{108}{\pi}\]

Упростим выражение:

\[S = 216 + 2 \cdot 12 = 216 + 24 = 240\]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна 240 квадратных сантиметров.