Какова площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ осевого сечения равна 8√2 дм и образует угол 45 градусов

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам нужно знать радиус его основания и высоту. Дано, что диагональ осевого сечения равна \(8\sqrt{2}\) дм и образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Найдем радиус основания цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и радиусом цилиндра. Мы знаем, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусов. Вспомним, что синус угла равен отношению противоположной стороны к гипотенузе. В данном случае противоположная сторона - это радиус, и гипотенуза - это диагональ. Поэтому мы можем записать:

\[\sin(45^\circ) = \frac{r}{8\sqrt{2}}\]

2. Решим уравнение относительно радиуса:

\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{r}{8\sqrt{2}}\]

Упростим его, умножив обе части на \(\sqrt{2}\):

\[\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = \frac{r}{8\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}\]

\[1 = \frac{r}{8}\]

Теперь можем найти радиус:

\[r = 8\]

3. Найдем высоту цилиндра. Диагональ осевого сечения является высотой цилиндра. Поэтому высота равна:

\[h = 8\sqrt{2}\]

4. Теперь, когда у нас есть радиус основания (\(r = 8\)) и высота (\(h = 8\sqrt{2}\)), мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра. Формула для площади полной поверхности цилиндра:

\[S = 2\pi r(r + h)\]

Подставим значения радиуса и высоты:

\[S = 2\pi \cdot 8(8 + 8\sqrt{2})\]

\[S = 2\pi \cdot 8(8(1 + \sqrt{2}))\]

\[S = 128\pi(1 + \sqrt{2})\]

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна \(128\pi(1 + \sqrt{2})\) квадратных дцентиметров или \(128(1 + \sqrt{2})\pi\) квадратных дцентиметров.