Какова площадь плоскостного сечения А1D1 единичного куба, которое проходит через вершины A1, B и середину ребра C1D1?

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим геометрические свойства и связи в единичном кубе.

Единичный куб имеет сторону длиной 1 единицу, и все его стороны взаимно перпендикулярны. Поэтому, плоскостное сечение А1D1, которое проходит через вершину A1, вершину B и середину ребра C1D1, будет состоять из трех частей:

1. Сегмент AB: Этот сегмент будет представлять собой основание треугольника ABC1, где ABC1 - это одна из граней куба. Длина стороны треугольника ABC1 равна диагонали грани куба и поэтому равна \(\sqrt{2}\) (корень из 2). Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где a - основание треугольника, а h - высота. В данном случае, a = \(\sqrt{2}\), так как это длина стороны треугольника, и h = 1, так как это расстояние между плоскостью сечения и параллельной плоскостью \(A_1B_1C_1D_1\). Подставляя значения в формулу, получим \(S_{AB} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1\).

2. Сегмент BC1D1: Этот сегмент будет представлять собой прямоугольник BC1D1, который имеет стороны длиной 1 (длина стороны куба). Площадь прямоугольника можно вычислить, используя формулу площади прямоугольника \(S = a \cdot b\), где a и b - длины сторон прямоугольника. В данном случае, a = 1 и b = 1, поэтому \(S_{BC_1D_1} = 1 \cdot 1\).

3. Сегмент A1C1: Этот сегмент будет представлять собой треугольник A1C1B, где A1C1 - это одно из ребер куба. Длина стороны A1C1 равна диагонали ребра куба и поэтому равна \(\sqrt{2}\) (корень из 2). Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где a и b - стороны треугольника. В данном случае, a = \(\sqrt{2}\) и b = 1, так как это длины сторон треугольника. Подставляя значения в формулу, получим \(S_{A_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1\).

Итак, чтобы найти площадь плоскостного сечения А1D1, которое проходит через вершины A1, B и середину ребра C1D1, нужно сложить площади трех сегментов:

\[S_{A1D1} = S_{AB} + S_{BC_1D_1} + S_{A_1C_1}\]

Подставив соответствующие значения, получим:

\[S_{A1D1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1\]

Упрощая выражение, получим окончательный ответ:

\[S_{A1D1} = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2}\]

Таким образом, площадь плоскостного сечения А1D1 единичного куба, которое проходит через вершины A1, B и середину ребра C1D1, равна \(\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2}\).