Какова площадь основания конуса, если его плоскость пересекает высоту в отношении 1:5, образуя сечение площадью

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для площади сечения конуса. Площадь сечения конуса определяется площадью круга, и она пропорциональна квадрату радиуса этого круга. Пусть \(S\) - площадь сечения конуса, \(S_{\text{базы}}\) - площадь основания конуса, \(r\) - радиус основания конуса. Из условия задачи мы знаем, что площадь сечения \(S\) равна \(2\pi\). Также дано, что соотношение между плоскостью сечения и высотой конуса равно 1:5.

Мы можем записать это соотношение как \(\frac{h_{\text{сечения}}}{h_{\text{конуса}}} = \frac{1}{5}\). Понимая, что площадь сечения конуса равна площади круга, мы можем применить следующую формулу для площади сечения конуса:

\[S = \pi r^2\]

Так как площадь сечения \(S\) равна \(2\pi\), мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[2\pi = \pi r^2\]

Для решения этого уравнения нам нужно найти радиус основания конуса \(r\). Для этого мы делим обе части уравнения на \(\pi\):

\[2 = r^2\]

Затем извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\[\sqrt{2} = r\]

Таким образом, радиус основания конуса равен \(\sqrt{2}\). Чтобы найти площадь основания конуса (\(S_{\text{базы}}\)), мы можем использовать формулу для площади круга:

\[S_{\text{базы}} = \pi r^2\]

Подставляем значение радиуса \(r = \sqrt{2}\) в эту формулу:

\[S_{\text{базы}} = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi\]

Таким образом, площадь основания конуса равна \(2\pi\).