Какова площадь осевого сечения конуса, если его образующая равна 6 см, наклонена к плоскости основания под углом

Для решения данной задачи нам необходимо использовать геометрические свойства конуса. Постараюсь дать подробное решение, чтобы оно было понятно для школьника.

Дано:
Образующая конуса (высота) \( h = 6 \) см.
Наклон образующей к плоскости основания под углом \( \alpha = 60^\circ \).
Диагональ осевого сечения делит угол \( \alpha \) пополам.

Нужно найти площадь осевого сечения конуса.

Для начала, рассмотрим основание конуса. Так как диагональ осевого сечения делит угол \( \alpha \) пополам, значит, получаем два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих треугольников. У него гипотенуза равна половине образующей конуса (половина высоты) - \( \frac{h}{2} = 3 \) см. А угол между гипотенузой и катетом равен \( \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).

Теперь, чтобы найти площадь этого прямоугольного треугольника, воспользуемся формулой:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Где \( a \) и \( b \) - длины катетов треугольника.
Один катет равен \( 3 \) см, а второй катет \( a \) мы можем найти, используя тригонометрию (так как нам известен угол).

Применяем теорему синусов:
\[ \frac{a}{\sin{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{c}{\sin{90^\circ}} \]

Где \( c \) - гипотенуза треугольника, или \( 3 \) см.

Подставляем известные значения и находим \( a \):
\[ \frac{a}{\sin{30^\circ}} = \frac{3}{\sin{90^\circ}} \]
\[ a = \frac{3 \cdot \sin{30^\circ}}{\sin{90^\circ}} \]

Вычисляем значение \( a \):
\[ a = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{1} = \frac{3}{2} = 1.5 \] см.

Теперь мы знаем длины катетов треугольника. Используем формулу для площади:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 3 \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 4.5 \]
\[ S = 2.25 \] см².

Таким образом, площадь осевого сечения конуса составляет \( 2.25 \) см².