Какова площадь осевого сечения цилиндра? Хорда, параллельная основанию, образует дугу длиной 120°. Отрезок, соединяющий

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно!

Шаг 1: Построение

Для начала давайте построим сечение цилиндра на плоскости основания. Нам дано, что хорда, параллельная основанию, образует дугу длиной 120°. Отрезок, соединяющий середину хорды с центром верхнего основания, имеет длину 4√2 см и образует угол 45° с плоскостью основания.

Для начала построим центр хорды на плоскости основания. Так как отрезок, соединяющий середину хорды с центром верхнего основания, имеет длину 4√2 см, то каждая половина хорды имеет длину 2√2 см.

Мы знаем, что центр хорды лежит на отрезке, соединяющем центр верхнего основания с серединой хорды. Длина этого отрезка равна половине длины хорды, то есть 2√2/2 = √2 см. Также нам известно, что этот отрезок образует угол 45° с плоскостью основания.

Итак, давайте построим центр хорды и отрезок, соединяющий его с центром верхнего основания, так чтобы он образовывал угол 45° с плоскостью основания.

Шаг 2: Площадь сечения

Теперь, когда мы построили сечение, мы можем определить площадь этого сечения.

Представим, что сечение является многоугольником. Поместим его внутрь окружности, радиус которой равен радиусу основания цилиндра. Тогда мы знаем, что сегмент этой окружности, ограниченный хордой, имеет длину 120°.

Площадь сегмента можно найти с помощью формулы:

\[ S = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin \theta) \]

Где \( r \) - радиус окружности, \( \theta \) - угол сегмента в радианах.

В нашем случае, \( r \) - радиус основания цилиндра (по сути, это длина отрезка, соединяющего центр хорды с центром верхнего основания), а \( \theta \) - угол 120°, переведенный в радианы.

Таким образом, площадь сегмента равна:

\[ S = \frac{1}{2} (\sqrt{2})^2 \left(\frac{120\pi}{180} - \sin \left(\frac{120\pi}{180}\right)\right) \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \left(\frac{120\pi}{180} - \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) \]

\[ S = \pi \left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

\[ S = \frac{\pi}{6} (4 - 3\sqrt{3}) \]

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна \( \frac{\pi}{6} (4 - 3\sqrt{3}) \) (квадратные сантиметры).