Какова площадь осевого сечения цилиндра, если хорда нижнего основания отсекает от окружности дугу в 120 градусов? Длина

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Площадь осевого сечения цилиндра, обозначим ее как S, зависит от длины отрезка, соединяющего центр верхнего основания с серединой хорды. Дано, что длина этого отрезка равна 4√2 см.

Для начала, давайте определим радиус цилиндра. Так как отрезок соединяет центр верхнего основания с серединой хорды, угол между этим отрезком и плоскостью основания составляет 45 градусов. Это означает, что мы можем рассмотреть треугольник, образованный центром верхнего основания, серединой хорды и ее концом.

Из данной информации, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника, так как у нас есть прямой угол и известна длина одной из сторон. Зная, что \( \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), мы можем найти длину радиуса, путем умножения длины отрезка на \( \sin(45^\circ) \):

\[ r = 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \, \text{см} \]

Теперь, у нас есть радиус цилиндра и дано, что хорда нижнего основания отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Если хорда делит окружность на две дуги, то угол между хордой и хордой, параллельной основанию, составляет половину от угла дуги. Таким образом, у нас есть угол в 60 градусов между основанием и хордой.

Давайте теперь найдем длину хорды \( l \). С помощью свойства синуса треугольника, который образуется отрезком, соединяющим центр верхнего основания с серединой хорды, и самой хордой, мы можем записать:

\[ \sin(60^\circ) = \frac{l}{2r} \]

Раскрывая синус 60 градусов, который равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), мы получаем следующее уравнение:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{l}{2 \cdot 4} \]

Упрощая уравнение, мы находим:

\[ l = 4\sqrt{3} \]

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, мы можем использовать следующую формулу:

\[ S = \pi r^2 \]

Подставляя значения радиуса, которое мы ранее нашли, получаем:

\[ S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра составляет \( 16\pi \, \text{см}^2 \).