Какова площадь описанной окружности в правильной треугольной пирамиде, где длина каждого бокового ребра равна b, и угол

Чтобы найти площадь описанной окружности в правильной треугольной пирамиде, нам понадобится использовать геометрические свойства этой фигуры.

Дано: угол между плоскостью основания и боковым ребром равен 30 градусам, длина каждого бокового ребра равна b.

Мы знаем, что правильная треугольная пирамида имеет равносторонний треугольник в основании, а ее вершина находится точно над центром этого треугольника. Также, описанная окружность этой пирамиды проходит через все вершины равностороннего треугольника.

Площадь описанной окружности можно найти, зная радиус этой окружности. Мы можем найти радиус, используя соотношение между стороной треугольника и радиусом описанной окружности.

Сначала найдем сторону треугольника.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Мы знаем, что угол между плоскостью основания и боковым ребром составляет 30 градусов. Так как это равносторонний треугольник, угол между плоскостью основания и боковой стороной также будет составлять 30 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины стороны треугольника.

Обозначим сторону треугольника как a. Тогда, по определению тангенса, \(\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}\).

Решим это уравнение относительно a:

\(\tan(30^\circ) = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \tan(30^\circ)\).

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника:

\(r = \frac{a}{2} = \frac{b \cdot \tan(30^\circ)}{2}\).

Теперь, найдя радиус, мы можем найти площадь описанной окружности, используя формулу \(S = \pi \cdot r^2\).

Подставим выражение для радиуса в формулу площади:

\(S = \pi \cdot \left(\frac{b \cdot \tan(30^\circ)}{2}\right)^2\).

Выполним вычисления:

\(S = \pi \cdot \left(\frac{b \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{2}\right)^2\).

Упростим выражение:

\(S = \pi \cdot \left(\frac{b \cdot \sqrt{3}}{6}\right)^2\).

Теперь мы можем вычислить площадь описанной окружности:

\(S = \pi \cdot \frac{b^2 \cdot 3}{36} = \pi \cdot \frac{b^2}{12}\).

Таким образом, площадь описанной окружности в данной правильной треугольной пирамиде равна \(\pi \cdot \frac{b^2}{12}\).