Какова площадь описанного круга вокруг равностороннего треугольника, если радиус вписанного круга равен 5–√ дм? Какова

Для решения данной задачи, нам понадобится знание некоторых свойств равностороннего треугольника и вписанного круга.

Чтобы найти площадь описанного круга, нам нужно знать радиус вписанного круга. В этой задаче указано, что радиус вписанного круга равен \(5 - \sqrt{3}\) дм (декиметров).

Теперь выразим радиус описанного круга через радиус вписанного круга и свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике радиус описанного круга соответствует расстоянию от центра круга до любой вершины треугольника. Расстояние от центра круга до любой вершины равно двойному радиусу вписанного круга. Таким образом, радиус описанного круга будет равен \(2 \cdot (5 - \sqrt{3})\).

Теперь мы можем найти площадь описанного круга, используя формулу для площади круга: \(S = \pi \cdot R^2\), где \(S\) — площадь круга, \(\pi\) — математическая константа, примерно равная 3.14, \(R\) — радиус круга.

Подставив найденное значение радиуса описанного круга, получим:
\(S_{опис. кр.} = \pi \cdot (2 \cdot (5 - \sqrt{3}))^2\)

Теперь рассчитаем площадь вписанного круга. Здесь нам нужно использовать формулу: \(S = \pi \cdot r^2\), где \(S\) — площадь круга, \(\pi\) — математическая константа, \(\pi \approx 3.14\), \(r\) — радиус вписанного круга.

Подставив значение радиуса вписанного круга, получим:
\(S_{вп. кр.} = \pi \cdot (5 - \sqrt{3})^2\)

Теперь вычислим значения площадей:

\(S_{опис. кр.} = \pi \cdot (2 \cdot (5 - \sqrt{3}))^2\)
\(S_{опис. кр.} = \pi \cdot (2 \cdot (5 - \sqrt{3}))^2\)
\(S_{опис. кр.} = \pi \cdot (10 - 2\sqrt{3})^2\)
\(S_{опис. кр.} = \pi \cdot (100 - 40\sqrt{3} + 12)\)
\(S_{опис. кр.} = \pi \cdot (112 - 40\sqrt{3})\)
\(S_{опис. кр.}\) примерно равно \(113.04 - 40\sqrt{3}\) квадратных декиметров.

\(S_{вп. кр.} = \pi \cdot (5 - \sqrt{3})^2\)
\(S_{вп. кр.} = \pi \cdot (5 - \sqrt{3})(5 - \sqrt{3})\)
\(S_{вп. кр.} = \pi \cdot (25 - 10\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 3)\)
\(S_{вп. кр.} = \pi \cdot (28 - 20\sqrt{3})\)
\(S_{вп. кр.}\) примерно равно \(87.964 - 62.832\sqrt{3}\) квадратных декиметров.

Таким образом, площадь описанного круга примерно равна \(113.04 - 40\sqrt{3}\) квадратных декиметров, а площадь вписанного круга примерно равна \(87.964 - 62.832\sqrt{3}\) квадратных декиметров.