Какова площадь области, ограниченной осью Ox и параболой у = -х^2

Question

Алгебра: Какова площадь области, ограниченной осью Ox и параболой у = -х^2 + 4х

Скользкий_Пингвин · Accepted Answer

Конечно! Чтобы найти площадь области, ограниченной осью

O x

и параболой

y = - x^{2} + 4 x

, мы должны вычислить интеграл этой функции в заданном интервале.

Для начала, нам нужно найти точки пересечения параболы с осью

O x

. Чтобы это сделать, приравняем функцию к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

0 = - x^{2} + 4 x

Факторизуем его:

0 = x (- x + 4)

Таким образом, существуют две точки пересечения:

x = 0

и

x = 4

.

Теперь, чтобы найти площадь ограниченной области, мы возьмем определенный интеграл функции

y = - x^{2} + 4 x

от

x = 0

до

x = 4

:

S = \int_{0}^{4} (- x^{2} + 4 x) d x

Вычислим этот интеграл пошагово:

S = {[- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}]}_{0}^{4} = - \frac{4^{3}}{3} + 2 \cdot 4^{2} - (- \frac{0^{3}}{3} + 2 \cdot 0^{2}) = - \frac{64}{3} + 32 - 0 = \frac{32}{3}

Таким образом, площадь области, ограниченной осью

O x

и параболой

y = - x^{2} + 4 x

, равна

\frac{32}{3}

(квадратных единиц).

Какова площадь области, ограниченной осью Ox и параболой у = -х^2 + 4х