Какова площадь области, ограниченной осью Ox и параболой у = -х^2

Question

Алгебра: Какова площадь области, ограниченной осью Ox и параболой у = -х^2 + 4х

Скользкий_Пингвин · Accepted Answer

Конечно! Чтобы найти площадь области, ограниченной осью \(Ox\) и параболой \(y = -x^2 + 4x\), мы должны вычислить интеграл этой функции в заданном интервале.

Для начала, нам нужно найти точки пересечения параболы с осью \(Ox\). Чтобы это сделать, приравняем функцию к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

\[0 = -x^2 + 4x\]

Факторизуем его:

\[0 = x(-x + 4)\]

Таким образом, существуют две точки пересечения: \(x = 0\) и \(x = 4\).

Теперь, чтобы найти площадь ограниченной области, мы возьмем определенный интеграл функции \(y = -x^2 + 4x\) от \(x = 0\) до \(x = 4\):

\[S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx\]

Вычислим этот интеграл пошагово:

\[
S = \left[- \frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_{0}^{4} = -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 - \left(-\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2\right) = -\frac{64}{3} + 32 - 0 = \frac{32}{3}
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной осью \(Ox\) и параболой \(y = -x^2 + 4x\), равна \(\frac{32}{3}\) (квадратных единиц).

Какова площадь области, ограниченной осью Ox и параболой у = -х^2 + 4х

Скользкий_Пингвин

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!