Какова площадь области, ограниченной кривыми, заданными уравнениями: y=3x-1 и x=2?

Для решения данной задачи, мы должны найти точки пересечения двух кривых, а затем определить площадь области, ограниченной этими кривыми. Давайте начнем с поиска точек пересечения.

Первое уравнение y = 3x - 1 задает прямую линию. Второе уравнение x = 2 - это вертикальная линия, проходящая через точку (2, 0).

Чтобы найти точку пересечения, мы должны приравнять значение y из первого уравнения к значению y второго уравнения:

3x - 1 = 2

Теперь решим это уравнение относительно x:

3x = 2 + 1
3x = 3
x = 1

Теперь, чтобы найти значение y, мы можем подставить найденное значение x обратно в любое из исходных уравнений. Мы возьмем первое:

y = 3 * 1 - 1
y = 3 - 1
y = 2

Таким образом, точка пересечения двух кривых равна (1, 2).

Теперь мы можем нарисовать область, ограниченную этими кривыми. Она будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{l|ll}
x & y=3x-1 & x=2 \\
\hline
0 & -1 & 2 \\
1 & 2 & 2 \\
\end{array}
\]

Область будет находиться под графиком y = 3x - 1 и слева от вертикальной линии x = 2.

Чтобы найти площадь этой области, нам нужно вычислить интеграл. В данном случае, мы можем использовать формулу для вычисления площади между двумя кривыми:

\[S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\]

где a и b - это x-координаты точек пересечения двух кривых f(x) и g(x).

В нашем случае, a = 1 и b = 2, f(x) = 3x - 1 и g(x) = 2. Подставим это в формулу:

\[S = \int_{1}^{2} ((3x - 1) - 2) \, dx\]

\[S = \int_{1}^{2} (3x - 3) \, dx\]

Решение этого интеграла даст нам площадь области, ограниченной данными кривыми. Вычислим:

\[S = \left[ \frac{3}{2} x^2 -3x \right]_{1}^{2}\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[S = \left( \frac{3}{2} \cdot 2^2 -3 \cdot 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 1^2 -3 \cdot 1 \right)\]

\[S = \left( \frac{3}{2} \cdot 4 - 6 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 1 - 3 \right)\]

\[S = \left( \frac{12}{2} - 6 \right) - \left( \frac{3}{2} - 3 \right)\]

\[S = (6 - 6) - ( \frac{3}{2} - \frac{6}{2} )\]

\[S = 0 - ( \frac{3}{2} - \frac{6}{2} )\]

\[S = 0 - ( \frac{3 - 6}{2} )\]

\[S = 0 - ( \frac{-3}{2} )\]

\[S = - \frac{-3}{2}\]

\[S = \frac{3}{2}\]

Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми y = 3x - 1 и x = 2, составляет \(\frac{3}{2}\) единицы площади.