Какова площадь области, ограниченной кривыми, заданными уравнениями: y=3x-1 и x=2?

Для решения данной задачи, мы должны найти точки пересечения двух кривых, а затем определить площадь области, ограниченной этими кривыми. Давайте начнем с поиска точек пересечения.

Первое уравнение y = 3x - 1 задает прямую линию. Второе уравнение x = 2 - это вертикальная линия, проходящая через точку (2, 0).

Чтобы найти точку пересечения, мы должны приравнять значение y из первого уравнения к значению y второго уравнения:

3x - 1 = 2

Теперь решим это уравнение относительно x:

3x = 2 + 1
3x = 3
x = 1

Теперь, чтобы найти значение y, мы можем подставить найденное значение x обратно в любое из исходных уравнений. Мы возьмем первое:

y = 3 * 1 - 1
y = 3 - 1
y = 2

Таким образом, точка пересечения двух кривых равна (1, 2).

Теперь мы можем нарисовать область, ограниченную этими кривыми. Она будет выглядеть следующим образом:

$$\begin{array}{lll}x& y=3x-1& x=2\\ 0& -1& 2\\ 1& 2& 2\end{array}$$

Область будет находиться под графиком y = 3x - 1 и слева от вертикальной линии x = 2.

Чтобы найти площадь этой области, нам нужно вычислить интеграл. В данном случае, мы можем использовать формулу для вычисления площади между двумя кривыми:

$$S={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$$

где a и b - это x-координаты точек пересечения двух кривых f(x) и g(x).

В нашем случае, a = 1 и b = 2, f(x) = 3x - 1 и g(x) = 2. Подставим это в формулу:

$$S={\int }_1^2((3x-1)-2)dx$$

$$S={\int }_1^2(3x-3)dx$$

Решение этого интеграла даст нам площадь области, ограниченной данными кривыми. Вычислим:

$$S={[\frac{3}{2}{x}^2-3x]}_1^2$$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$$S=(\frac{3}{2}\cdot 2^2-3\cdot 2)-(\frac{3}{2}\cdot 1^2-3\cdot 1)$$

$$S=(\frac{3}{2}\cdot 4-6)-(\frac{3}{2}\cdot 1-3)$$

$$S=(\frac{12}{2}-6)-(\frac{3}{2}-3)$$

$$S=(6-6)-(\frac{3}{2}-\frac{6}{2})$$

$$S=0-(\frac{3}{2}-\frac{6}{2})$$

$$S=0-(\frac{3-6}{2})$$

$$S=0-(\frac{-3}{2})$$

$$S=-\frac{-3}{2}$$

$$S=\frac{3}{2}$$

Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми y = 3x - 1 и x = 2, составляет $\frac{3}{2}$ единицы площади.