Какова площадь области, ограниченной кривой y=(2x-3)e^-x и ее горизонтальной асимптотой на интервале [0;+∞)?

Для определения площади области, ограниченной кривой \(y = (2x - 3)e^{-x}\) и ее горизонтальной асимптотой на интервале \([0; +\infty)\), мы можем использовать интегралы.

Шаг 1: Найдем точку пересечения кривой и горизонтальной асимптоты. Для этого приравняем \(y\) к горизонтальной асимптоте. Горизонтальная асимптота имеет вид \(y = c\), где \(c\) - константа. Подставив \(y = c\) в уравнение кривой, получим:

\((2x - 3)e^{-x} = c\)

Шаг 2: Решим это уравнение относительно \(x\). Воспользуемся свойствами экспоненты и логарифмов:

\(\Rightarrow 2x - 3 = c \cdot e^x\)

\(\Rightarrow 2x - c \cdot e^x = 3\)

Для решения этого уравнения нам понадобится численные методы или приближенные вычисления. Поэтому давайте просто обозначим это решение как \(x_0\).

Шаг 3: Теперь мы можем записать интеграл для определения площади. Площадь области между кривой и горизонтальной асимптотой на интервале \([0; +\infty)\) может быть найдена с помощью следующего интеграла:

\(\text{Площадь} = \int_{0}^{x_0} [(2x - 3)e^{-x} - c] \, dx\)

Шаг 4: Теперь произведем вычисления интеграла:

\(\text{Площадь} = \int_{0}^{x_0} (2x - 3)e^{-x} \, dx - \int_{0}^{x_0} c \, dx\)

Давайте вычислим каждый интеграл по отдельности.

Для первого интеграла:

\(\int_{0}^{x_0} (2x - 3)e^{-x} \, dx = \left[-(2x - 4)e^{-x}\right]_{0}^{x_0}\)

\(\Rightarrow -[(2x_0 - 3)e^{-x_0} - (0 - 3)e^{0}]\)

\(\Rightarrow -(2x_0 - 3)e^{-x_0} + 3\)

Для второго интеграла:

\(\int_{0}^{x_0} c \, dx = [cx]_{0}^{x_0}\)

\(\Rightarrow cx_0 - c \cdot 0\)

\(\Rightarrow cx_0\)

Шаг 5: И объединим результаты обоих интегралов:

\(\text{Площадь} = -(2x_0 - 3)e^{-x_0} + 3 - cx_0\)

Таким образом, площадь области, ограниченной кривой \(y = (2x - 3)e^{-x}\) и ее горизонтальной асимптотой на интервале \([0; +\infty)\), равна \(-(2x_0 - 3)e^{-x_0} + 3 - cx_0\).

Пожалуйста, учтите, что это лишь пример работы с данной задачей, и фактические значения \(x_0\) и \(c\) могут быть неизвестными до численных вычислений.