Какова площадь области, ограниченной графиком уравнения y=x^2-4x и осью

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь области, ограниченной графиком уравнения \(y=x^2-4x\) и осью \(x\).

Первым шагом решения задачи будет нахождение точек пересечения графика с осью \(x\). Для этого приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение:

\[0 = x^2 - 4x\]

Приведем это квадратное уравнение к стандартному виду и решим:

\[x^2 - 4x = 0\]

Факторизуем эту квадратную трехчлен:

\[x(x - 4) = 0\]

По свойству "произведение равно нулю", получаем два возможных значения \(x\): \(x = 0\) или \(x = 4\).

Теперь, когда мы нашли точки пересечения графика с осью \(x\), мы можем построить соответствующий график и обозначить область, которую нужно найти:

\[
\begin{array}{|c c c c|}
\hline
x & 0 & 4 & \\
\hline
y & 0 & 0 & \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти площадь этой области, нам нужно вычислить интеграл функции \(y = x^2 - 4x\) на интервале от \(x = 0\) до \(x = 4\).

\[
\text{Площадь} = \int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx
\]

Интегрируя это выражение, получим:

\[
\text{Площадь} = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2\right]_{0}^{4}
\]

Выполняя подстановку границ и вычисления, получаем:

\[
\text{Площадь} = \left(\frac{1}{3}\cdot4^3 - 2\cdot4^2\right) - \left(\frac{1}{3} \cdot 0^3 - 2\cdot0^2\right)
\]

Упрощая данное выражение, получаем:

\[
\text{Площадь} = \left(\frac{1}{3} \cdot 64 - 2 \cdot 16\right) - 0
\]

Выполняя дальнейшие вычисления, получаем:

\[
\text{Площадь} = \frac{64}{3}-\frac{32}{3}
\]

И, наконец, считаем:

\[
\text{Площадь} = \frac{32}{3}
\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком уравнения \(y=x^2-4x\) и осью \(x\), равна \(\frac{32}{3}\) единицы площади.