Какова площадь многоугольника, образованного линиями, соединяющими точки (1,0), (1,1), (2,4), (1,3), (0,5) и (0,2

Для решения этой задачи нам понадобится знание геометрии и формулы нахождения площади многоугольника. Площадь многоугольника можно найти разбив его на треугольники, а затем сложив площади всех треугольников.

Давайте начнем с того, что соединим точки последовательно в порядке их задания: (1,0) → (1,1) → (2,4) → (1,3) → (0,5) → (0,2) → (1,0). Мы получим замкнутую фигуру на координатной плоскости, которую нужно разбить на треугольники.

Первый треугольник образуется точками (1,0), (1,1) и (2,4). Чтобы найти его площадь, мы будем использовать формулу, известную как "полупроизведение длин основания и высоты". Длина основания этого треугольника равна 1 (так как точки (1,0) и (1,1) имеют одинаковую абсциссу), а его высота равна 3 (проекция точки (2,4) на ось абсцисс). Подставим эти значения в формулу:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = \frac{3}{2}\]

Теперь перейдем ко второму треугольнику, образованному точками (1,0), (2,4) и (1,3). Длина его основания равна 3 (по прямой) и высота равна 1 (проекция на ось ординат). Применим формулу:

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2}\]

Третий треугольник точно также имеет площадь \(\frac{3}{2}\).

Теперь перейдем к четвертому треугольнику, образованному точками (1,0), (1,3) и (0,5). Длина основания равна 1, а высота равна 2. Применим формулу:

\[S_4 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\]

Пятым треугольником будет треугольник, образованный точками (1,0), (0,5) и (0,2). Его площадь также равна 1.

Наконец, шестой треугольник, образованный точками (1,0), (0,2) и (1,1), также имеет площадь 1.

Теперь мы можем сложить все площади треугольников, чтобы найти общую площадь многоугольника:

\[S_{\text{многоугольника}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 1 + 1 + 1 = 6\]

Таким образом, площадь многоугольника, образованного заданными точками, равна 6.