Какова площадь крыши башни замка, если она имеет форму конуса с высотой 10 м и диаметром башни

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Первым шагом мы должны найти радиус основания конуса. Мы знаем, что диаметр башни составляет 10 метров. Для нахождения радиуса нам нужно разделить диаметр на 2. Таким образом, радиус будет равен 10 метров / 2 = 5 метров.

Вторым шагом находим площадь основания конуса. Площадь основания конуса можно найти по формуле площади круга: \(S_О = \pi \cdot r^2\), где \(r\) - радиус. Подставляя значения в формулу, получим \(S_О = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\) метров квадратных. Ответ составляет \(25\pi\) метров квадратных.

Третий шаг - нахождение площади боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле: \(S_Б = \pi \cdot r \cdot l\), где \(l\) - образующая, которая находится с использованием теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, образующей и высотой. В нашем случае высота и образующая равны 10 метров. Так как \(r = 5\) метров, по теореме Пифагора мы можем вычислить образующую:

\[l^2 = r^2 + h^2\]
\[l^2 = 5^2 + 10^2\]
\[l^2 = 25 + 100\]
\[l^2 = 125\]
\[l = \sqrt{125}\]
\[l = 5\sqrt{5}\]

Теперь, подставив значения в формулу, мы получим:

\[S_Б = \pi \cdot 5 \cdot 5\sqrt{5} = 25\pi\sqrt{5}\]

Ответ составляет \(25\pi\sqrt{5}\) метров квадратных.

Наконец, находим полную площадь поверхности конуса. Для этого нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности конуса:

\[S = S_O + S_Б = 25\pi + 25\pi\sqrt{5} = 25\pi(1 + \sqrt{5})\]

Таким образом, площадь крыши башни замка составляет \(25\pi(1 + \sqrt{5})\) метров квадратных.