Какова площадь круга, описанного вокруг правильного четырехугольника, диагональ которого равна 8 см? Какова длина

Хорошо, рассмотрим задачу. Для начала определимся с понятием правильного четырехугольника. Правильный четырехугольник - это четырехугольник, все стороны и углы которого равны друг другу. Таким образом, у нас есть равносторонний четырехугольник.

В данной задаче дано, что диагональ этого равностороннего четырехугольника равна 8 см. Для решения задачи обратимся к свойству равносторонних четырехугольников: диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника можно найти длину его сторон. В нашем случае одна сторона равна 8 см, а другая сторона - это радиус описанного круга. Обозначим его буквой $R$.

Теорема Пифагора гласит: $a^2+b^2=c^2$, где $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза треугольника.

В нашем случае катеты равны половине диагонали равностороннего четырехугольника, то есть $a=b=\frac{8}{2}=4$.

Применяя теорему Пифагора, получим: $4^2+4^2=R^2$.

Выполняя вычисления, получим: $16+16=R^2$, что приводит к $32=R^2$.

Чтобы найти значение $R$, возьмем квадратный корень из обоих сторон уравнения: $\sqrt{32}=\sqrt{R^2}$.

Раскрывая корень, получим: $\sqrt{32}=R$, что приближенно равно $R\approx 5,66$ см.

Теперь мы знаем радиус описанного круга. Чтобы найти его площадь ($S$), воспользуемся формулой для площади круга: $S=\pi R^2$, где $\pi$ - математическая константа, примерно равная 3,14.

Подставляя значения, получим: $S=3,14\cdot (5,66{)}^2$.

Выполняем вычисления: $S=3,14\cdot 32=100,48$ (см²).

Таким образом, площадь круга, описанного вокруг правильного четырехугольника, равна примерно 100,48 квадратных сантиметров.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи - длину окружности, вписанной в данный четырехугольник. Чтобы найти длину окружности, воспользуемся формулой $C=2\pi r$, где $C$ - длина окружности, $r$ - радиус окружности.

Радиус окружности равен половине стороны равностороннего четырехугольника, то есть $r=\frac{8}{2}=4$ см.

Подставляя значение радиуса в формулу, получим: $C=2\cdot 3,14\cdot 4$.

Выполняя вычисления, получим: $C=25,12$ (см).

Таким образом, длина окружности, вписанной в данный четырехугольник, равна примерно 25,12 сантиметров.