Какова площадь круга, если площадь квадрата, который ограничивает его вписанную окружность, составляет 72 дм²?

Чтобы найти площадь круга, мы можем использовать свойство вписанных фигур.

Дано, что площадь квадрата, ограничивающего вписанную окружность, составляет 72 дм². Пусть сторона этого квадрата равна \(a\) дм.

Так как окружность вписана в квадрат, ее диаметр равен стороне квадрата. Диаметр окружности также является диагональю квадрата. По свойству диагоналей квадрата, мы можем найти длину диагонали, используя теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В данном случае, катеты равны \(a\) дм, так как сторона квадрата равна \(a\) дм, и гипотенуза равна диаметру окружности. Обозначим диаметр окружности как \(d\) дм:

\[a^2 + a^2 = d^2\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[2a^2 = d^2\]

Теперь, зная площадь квадрата, мы можем найти сторону \(a\). Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть:

\[a^2 = 72\]

Берем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[\sqrt{a^2} = \sqrt{72}\]

\[a = \sqrt{72}\]

После вычислений получаем:

\[a \approx 8.49\]

Теперь, когда у нас есть сторона \(a\), мы можем найти диаметр окружности, используя уравнение \(2a^2 = d^2\):

\[2 \cdot (8.49)^2 = d^2\]
\[2 \cdot 72 = d^2\]
\[144 = d^2\]

Выражаем диаметр окружности:

\[d = \sqrt{144}\]
\[d = 12\]

Итак, диаметр окружности равен 12 дм.

Теперь мы можем найти радиус окружности. Радиус - это половина диаметра. Поэтому радиус равен:

\[r = \frac{d}{2}\]
\[r = \frac{12}{2}\]
\[r = 6\]

И, наконец, площадь круга с радиусом 6 дм может быть найдена по формуле:

\[S = \pi r^2\]
\[S = \pi \cdot (6)^2\]
\[S = \pi \cdot 36\]

Таким образом, площадь круга, ограниченного вписанной окружностью, равна \(36\pi\) (квадратным дециметрам). Если вам требуется точное или приближенное десятичное значение, пожалуйста, укажите.