Какова площадь криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции f(x)=x^3+1, осью Ox и вертикальными линиями

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь криволинейной фигуры, которая ограничена графиком функции \(f(x)=x^3+1\), осью \(Ox\) и вертикальными линиями \(x=0\) и \(x=2\).

Шаг 1: Начнем с построения графика функции \(f(x)=x^3+1\) и заданных вертикальных линий:

\[
\begin{{array}}{{c|c}}
x & f(x)=x^3+1 \\
\hline
0 & 0^3+1=1 \\
1 & 1^3+1=2 \\
2 & 2^3+1=9 \\
\end{{array}}
\]

Таким образом, у нас есть график функции \(f(x)=x^3+1\) (представлен в виде кубической кривой), вертикальные линии \(x=0\) и \(x=2\), и ось \(Ox\).

Шаг 2: Определим границы интегрирования. В данной задаче границами интегрирования будут вертикальные линии \(x=0\) и \(x=2\).

Шаг 3: Определим функцию, описывающую кривую сторону трапеции. В данном случае это функция \(f(x)=x^3+1\). Таким образом, мы будем интегрировать функцию \(f(x)\) между границами интегрирования \(x=0\) и \(x=2\).

Шаг 4: Вычислим определенный интеграл площади фигуры. Интеграл площади криволинейной трапеции может быть найден по следующей формуле:

\[
\text{{Площадь}} = \int_{{a}}^{{b}} \left| f(x) \right| dx
\]

Где \(a\) и \(b\) - границы интегрирования, а \(\left| f(x) \right|\) - модуль значения функции \(f(x)\).

Заметим, что в нашем случае функция \(f(x)=x^3+1\) всегда неотрицательна, поэтому модуль не является необходимым. Мы можем просто интегрировать функцию \(f(x)\) между границами \(x=0\) и \(x=2\).

Шаг 5: Произведем вычисление определенного интеграла:

\[
\begin{{align*}}
\int_{{0}}^{{2}} (x^3+1) \, dx &= \left. \left( \frac{{x^4}}{4}+x \right) \right|_{{0}}^{{2}} \\
&= \left( \frac{{2^4}}{4}+2 \right) - \left( \frac{{0^4}}{4}+0 \right) \\
&= \left( \frac{{16}}{4}+2 \right) - \left( 0+0 \right) \\
&= (4+2) - (0+0) \\
&= 6 - 0 \\
&= 6
\end{{align*}}
\]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(f(x)=x^3+1\), осью \(Ox\) и вертикальными линиями \(x=0\) и \(x=2\), равна \(6\) квадратным единицам.