Какова площадь кольца (красного цвета) с двумя кругами, имеющими общий центр o? Площадь меньшего круга составляет

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Первым шагом, нам необходимо вычислить площадь большего круга. Мы знаем, что площадь меньшего круга равна 75 см². Формула для вычисления площади круга это \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь круга, а \(r\) - радиус круга.

Так как площадь меньшего круга составляет 75 см², мы можем записать уравнение \(75 = \pi r^2\) для меньшего круга. Давайте решим его, чтобы найти значение радиуса.

Для этого, начнем с выражения радиуса \(r^2 = \frac{75}{\pi}\). Затем возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения и получим \(r = \sqrt{\frac{75}{\pi}}\).

Теперь, чтобы найти радиус \(R\) большего круга, мы можем использовать отрезок \(ab\). Мы знаем, что отрезок \(ab\) равен 8 см и это равно разности радиусов двух кругов: \(R - r = 8\).

Мы можем переписать это уравнение как \(R = 8 + r\), где \(R\) - радиус большего круга, а \(r\) - радиус меньшего круга. Подставим значение радиуса \(r = \sqrt{\frac{75}{\pi}}\), чтобы найти значение радиуса \(R\).

\(R = 8 + \sqrt{\frac{75}{\pi}}\).

Теперь, чтобы найти площадь кольца, мы можем использовать формулу для площади круга. Площадь кольца будет равна разности площадей двух кругов:

\(S_{\text{кольца}} = S_{\text{большего круга}} - S_{\text{меньшего круга}}\).

Мы можем подставить значения радиусов в формулу, чтобы найти площадь кольца:

\(S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2\).

Подставим значение радиусов \(R = 8 + \sqrt{\frac{75}{\pi}}\) и \(r = \sqrt{\frac{75}{\pi}}\).

\(S_{\text{кольца}} = \pi \left(8 + \sqrt{\frac{75}{\pi}}\right)^2 - \pi \left(\sqrt{\frac{75}{\pi}}\right)^2\).

Мы можем упростить это уравнение, вычислив квадраты, умножения и сокращения:

\[S_{\text{кольца}} = \pi \left(64 + 16\sqrt{\frac{75}{\pi}} + \frac{75}{\pi}\right) - \pi \cdot \frac{75}{\pi} = \pi \cdot 64 + \pi \cdot 16\sqrt{\frac{75}{\pi}} + 75 - 75 = \pi \cdot 64 + \pi \cdot 16\sqrt{\frac{75}{\pi}}\].

Таким образом, площадь кольца равна \(\pi \cdot 64 + \pi \cdot 16\sqrt{\frac{75}{\pi}}\).

Можем сократить и упростить выражение:

\[S_{\text{кольца}} = 64\pi + 16\sqrt{75\pi}.\]

Это и есть конечный ответ! Площадь кольца равна \(64\pi + 16\sqrt{75\pi}\) квадратных сантиметров.