Какова площадь фигур, ограниченных данными линиями: у = х/2 - 2, у = -х/2 + 4, у = 0, х

Для решения данной задачи необходимо найти точки пересечения данных линий и определить геометрическую фигуру, ограниченную этими линиями. Затем мы можем вычислить площадь этой фигуры.

1. Найдем точки пересечения линий. Для этого приравняем каждую пару уравнений друг к другу и решим получившиеся системы уравнений:

\(y = \frac{x}{2} - 2\)
\(y = -\frac{x}{2} + 4\)

Приравняем \(y\) в обоих уравнениях:
\(\frac{x}{2} - 2 = -\frac{x}{2} + 4\)

Упростим уравнение:
\(\frac{x}{2} + \frac{x}{2} = 4 + 2\)
\(x = 6\)

Подставим найденное значение \(x\) в одно из уравнений, чтобы найти значение \(y\):
\(y = \frac{6}{2} - 2\)
\(y = 3 - 2\)
\(y = 1\)

Таким образом, первая точка пересечения линий имеет координаты (6, 1).

Повторим этот процесс для другой пары уравнений:

\(y = \frac{x}{2} - 2\)
\(y = 0\)

Приравняем \(y\) в обоих уравнениях:
\(\frac{x}{2} - 2 = 0\)

Упростим уравнение:
\(\frac{x}{2} = 2\)
\(x = 4\)

Подставим найденное значение \(x\) в одно из уравнений, чтобы найти значение \(y\):
\(y = \frac{4}{2} - 2\)
\(y = 2 - 2\)
\(y = 0\)

Вторая точка пересечения линий имеет координаты (4, 0).

Таким образом, мы получили две точки пересечения линий: (6, 1) и (4, 0).

2. Определим геометрическую фигуру, ограниченную этими линиями. Рисуя график уравнений, можно увидеть, что эти линии образуют треугольник.

Теперь, когда у нас есть точки пересечения и геометрическая фигура, мы можем вычислить ее площадь.

3. Вычислим площадь треугольника с использованием формулы площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).

В качестве основания выберем отрезок между точками пересечения линий, то есть расстояние между точками (6, 1) и (4, 0). Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), получаем:

\(d = \sqrt{(6 - 4)^2 + (1 - 0)^2}\)
\(d = \sqrt{2^2 + 1^2}\)
\(d = \sqrt{4 + 1}\)
\(d = \sqrt{5}\)

Таким образом, основание треугольника равно \(\sqrt{5}\).

Высоту треугольника можно найти, заметив, что треугольник ограничен горизонтальной линией у = 0. Расстояние от линии у = 0 до вершины треугольника (6, 1) является высотой треугольника.

Высота треугольника равна 1.

Теперь, подставив найденные значения основания и высоты в формулу площади треугольника, получаем:

\(S = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times 1\)
\(S = \frac{1}{2} \sqrt{5}\)

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна \(\frac{1}{2} \sqrt{5}\).