Какова площадь четырехугольника, у которого все стороны равны 9 см, а радиусы вписанной и описанной окружности нужно определить?
Анастасия
Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов для более понятного объяснения.
Шаг 1: Найдем радиус вписанной окружности.
Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон четырехугольника. Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся следующей формулой:
\[r = \frac{S}{p}\]
где \(S\) - площадь четырехугольника, \(p\) - полупериметр четырехугольника.
Поскольку все стороны равны 9 см, то \(p = 4 \times 9 = 36\) см.
Теперь нам нужно найти площадь четырехугольника, чтобы продолжить решение.
Шаг 2: Найдем площадь четырехугольника.
Четырехугольник можно разбить на два треугольника. Один из них будет прямоугольным, поскольку диагонали образуют прямой угол.
Для нахождения площади прямоугольного треугольника воспользуемся следующей формулой:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]
Основание прямоугольного треугольника равно одной из сторон четырехугольника, т.е. 9 см. Высоту треугольника обозначим \(h\).
Используем теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника:
\[h^2 = 9^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 81 - \frac{81}{4}\]
\[h^2 = \frac{324}{4} - \frac{81}{4}\]
\[h^2 = \frac{243}{4}\]
\[h = \sqrt{\frac{243}{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{4}}\]
\[h = \frac{9\sqrt{3}}{2}\]
Теперь, имея основание и высоту, мы можем найти площадь прямоугольного треугольника:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{9\sqrt{3}}{2}\]
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{9 \times 9\sqrt{3}}{4}\]
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{81\sqrt{3}}{4}\]
Так как в четырехугольнике два таких треугольника, общая площадь четырехугольника будет:
\[S = 2 \times \frac{81\sqrt{3}}{4}\]
\[S = \frac{162\sqrt{3}}{4}\]
\[S = \frac{81\sqrt{3}}{2}\]
Теперь у нас есть площадь четырехугольника, которую мы можем использовать, чтобы вычислить радиус вписанной окружности.
Шаг 3: Вычислим радиус вписанной окружности.
Вспомним формулу для радиуса вписанной окружности:
\[r = \frac{S}{p}\]
где \(S\) - площадь четырехугольника, \(p\) - полупериметр четырехугольника.
Мы уже вычислили площадь четырехугольника (\(S = \frac{81\sqrt{3}}{2}\)), а полупериметр четырехугольника \(p = 36\) см.
Теперь, подставив значения в формулу, мы можем найти радиус вписанной окружности:
\[r = \frac{\frac{81\sqrt{3}}{2}}{36}\]
\[r = \frac{81\sqrt{3}}{72}\]
\[r = \frac{\sqrt{3}}{8}\]
Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\frac{\sqrt{3}}{8}\) см.
Шаг 4: Найдем радиус описанной окружности.
Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины четырехугольника.
Для нее справедливо следующее утверждение: радиус описанной окружности равен половине длины диагонали четырехугольника.
У нас есть четырехугольник с равными сторонами длиной 9 см. Диагональ этого четырехугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора:
\[d^2 = 9^2 + 9^2\]
\[d^2 = 81 + 81\]
\[d^2 = 162\]
\[d = \sqrt{162}\]
\[d = \sqrt{9 \times 18}\]
\[d = 9\sqrt{2}\]
Половина длины диагонали равна \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\).
Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) см.
Вот и все! Теперь мы определили радиусы вписанной и описанной окружностей для четырехугольника со сторонами длиной 9 см.
Шаг 1: Найдем радиус вписанной окружности.
Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон четырехугольника. Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся следующей формулой:
\[r = \frac{S}{p}\]
где \(S\) - площадь четырехугольника, \(p\) - полупериметр четырехугольника.
Поскольку все стороны равны 9 см, то \(p = 4 \times 9 = 36\) см.
Теперь нам нужно найти площадь четырехугольника, чтобы продолжить решение.
Шаг 2: Найдем площадь четырехугольника.
Четырехугольник можно разбить на два треугольника. Один из них будет прямоугольным, поскольку диагонали образуют прямой угол.
Для нахождения площади прямоугольного треугольника воспользуемся следующей формулой:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\]
Основание прямоугольного треугольника равно одной из сторон четырехугольника, т.е. 9 см. Высоту треугольника обозначим \(h\).
Используем теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника:
\[h^2 = 9^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 81 - \frac{81}{4}\]
\[h^2 = \frac{324}{4} - \frac{81}{4}\]
\[h^2 = \frac{243}{4}\]
\[h = \sqrt{\frac{243}{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{4}}\]
\[h = \frac{9\sqrt{3}}{2}\]
Теперь, имея основание и высоту, мы можем найти площадь прямоугольного треугольника:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{9\sqrt{3}}{2}\]
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{9 \times 9\sqrt{3}}{4}\]
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{81\sqrt{3}}{4}\]
Так как в четырехугольнике два таких треугольника, общая площадь четырехугольника будет:
\[S = 2 \times \frac{81\sqrt{3}}{4}\]
\[S = \frac{162\sqrt{3}}{4}\]
\[S = \frac{81\sqrt{3}}{2}\]
Теперь у нас есть площадь четырехугольника, которую мы можем использовать, чтобы вычислить радиус вписанной окружности.
Шаг 3: Вычислим радиус вписанной окружности.
Вспомним формулу для радиуса вписанной окружности:
\[r = \frac{S}{p}\]
где \(S\) - площадь четырехугольника, \(p\) - полупериметр четырехугольника.
Мы уже вычислили площадь четырехугольника (\(S = \frac{81\sqrt{3}}{2}\)), а полупериметр четырехугольника \(p = 36\) см.
Теперь, подставив значения в формулу, мы можем найти радиус вписанной окружности:
\[r = \frac{\frac{81\sqrt{3}}{2}}{36}\]
\[r = \frac{81\sqrt{3}}{72}\]
\[r = \frac{\sqrt{3}}{8}\]
Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\frac{\sqrt{3}}{8}\) см.
Шаг 4: Найдем радиус описанной окружности.
Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины четырехугольника.
Для нее справедливо следующее утверждение: радиус описанной окружности равен половине длины диагонали четырехугольника.
У нас есть четырехугольник с равными сторонами длиной 9 см. Диагональ этого четырехугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора:
\[d^2 = 9^2 + 9^2\]
\[d^2 = 81 + 81\]
\[d^2 = 162\]
\[d = \sqrt{162}\]
\[d = \sqrt{9 \times 18}\]
\[d = 9\sqrt{2}\]
Половина длины диагонали равна \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\).
Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) см.
Вот и все! Теперь мы определили радиусы вписанной и описанной окружностей для четырехугольника со сторонами длиной 9 см.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
