Какова площадь четырехугольника abcd, если его диагонали взаимно перпендикулярны и имеют длины 12,4см и 15см?

Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, нам понадобится использовать формулу площади четырехугольника, известную как формула "полупериметр по диагоналям". Давайте разберемся, как применить эту формулу для данного случая.

1. Полупериметр четырехугольника:
Полупериметр четырехугольника можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив полученную сумму на 2:

$$s=\frac{AB+BC+CD+DA}{2}$$

2. Длины сторон четырехугольника:
Обратите внимание, что у нас есть только длины диагоналей четырехугольника. Поэтому нам нужно найти длины остальных сторон.

a. По условию задачи известно, что диагонали взаимно перпендикулярны. Это означает, что диагонали делят четырехугольник на 4 прямоугольных треугольника.

b. Используем теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, чтобы найти длины сторон:

- Для треугольника ABC с диагоналями AB и BC:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$$

- Для треугольника BCD с диагоналями BC и CD:
$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2$$

- Для треугольника CDA с диагоналями CD и DA:
$$A{C}^2=C{D}^2+D{A}^2$$

- Для треугольника DAB с диагоналями DA и AB:
$$B{D}^2=D{A}^2+A{B}^2$$

c. Найденные значения AC, BD, AC и BD являются значениями сторон четырехугольника ABCD.

3. Подставляем найденные значения сторон в формулу полупериметра:
$$s=\frac{AC+BD+AC+BD}{2}$$

4. Находим площадь четырехугольника, используя формулу "полупериметр по диагоналям":
$$S=\sqrt{(s-AC)(s-BD)(s-AC)(s-BD)}$$

Теперь у нас есть все необходимые действия. Давайте найдем значения сторон и площадь четырехугольника ABCD.

1. Рассчитаем длины сторон четырехугольника:
Используя теорему Пифагора, найдем значения сторон:

- Для треугольника ABC:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$$
$$A{C}^2={12.4}^2+{15}^2$$
$$A{C}^2=153.76+225$$
$$A{C}^2=378.76$$
$$AC\approx 19.45$$

- Для треугольника BCD:
$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2$$
$$B{D}^2={15}^2+{12.4}^2$$
$$B{D}^2=225+153.76$$
$$B{D}^2=378.76$$
$$BD\approx 19.45$$

- Для треугольника CDA:
$$A{C}^2=C{D}^2+D{A}^2$$
$$A{C}^2={12.4}^2+{15}^2$$
$$A{C}^2=153.76+225$$
$$A{C}^2=378.76$$
$$AC\approx 19.45$$

- Для треугольника DAB:
$$B{D}^2=D{A}^2+A{B}^2$$
$$B{D}^2={15}^2+{12.4}^2$$
$$B{D}^2=225+153.76$$
$$B{D}^2=378.76$$
$$BD\approx 19.45$$

Получили значения сторон:
AC ≈ 19.45 см
BD ≈ 19.45 см

2. Рассчитаем полупериметр:
$$s=\frac{AC+BD+AC+BD}{2}$$
$$s=\frac{19.45+19.45+19.45+19.45}{2}$$
$$s=\frac{77.8}{2}$$
$$s=38.9$$

3. Рассчитаем площадь четырехугольника:
$$S=\sqrt{(s-AC)(s-BD)(s-AC)(s-BD)}$$
$$S=\sqrt{(38.9-19.45)(38.9-19.45)(38.9-19.45)(38.9-19.45)}$$
$$S=\sqrt{(19.45)(19.45)(19.45)(19.45)}$$
$$S\approx 1,605.86$$

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD составляет приблизительно 1,605.86 квадратных сантиметров.