Какова площадь четырехугольника abcd, если его диагонали взаимно перпендикулярны и имеют длины 12,4см и 15см?

Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, нам понадобится использовать формулу площади четырехугольника, известную как формула "полупериметр по диагоналям". Давайте разберемся, как применить эту формулу для данного случая.

1. Полупериметр четырехугольника:
Полупериметр четырехугольника можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив полученную сумму на 2:

\[s = \frac{AB + BC + CD + DA}{2}\]

2. Длины сторон четырехугольника:
Обратите внимание, что у нас есть только длины диагоналей четырехугольника. Поэтому нам нужно найти длины остальных сторон.

a. По условию задачи известно, что диагонали взаимно перпендикулярны. Это означает, что диагонали делят четырехугольник на 4 прямоугольных треугольника.

b. Используем теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, чтобы найти длины сторон:

- Для треугольника ABC с диагоналями AB и BC:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

- Для треугольника BCD с диагоналями BC и CD:
\[BD^2 = BC^2 + CD^2\]

- Для треугольника CDA с диагоналями CD и DA:
\[AC^2 = CD^2 + DA^2\]

- Для треугольника DAB с диагоналями DA и AB:
\[BD^2 = DA^2 + AB^2\]

c. Найденные значения AC, BD, AC и BD являются значениями сторон четырехугольника ABCD.

3. Подставляем найденные значения сторон в формулу полупериметра:
\[s = \frac{AC + BD + AC + BD}{2}\]

4. Находим площадь четырехугольника, используя формулу "полупериметр по диагоналям":
\[S = \sqrt{(s-AC)(s-BD)(s-AC)(s-BD)}\]

Теперь у нас есть все необходимые действия. Давайте найдем значения сторон и площадь четырехугольника ABCD.

1. Рассчитаем длины сторон четырехугольника:
Используя теорему Пифагора, найдем значения сторон:

- Для треугольника ABC:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\[AC^2 = 12.4^2 + 15^2\]
\[AC^2 = 153.76 + 225\]
\[AC^2 = 378.76\]
\[AC \approx 19.45\]

- Для треугольника BCD:
\[BD^2 = BC^2 + CD^2\]
\[BD^2 = 15^2 + 12.4^2\]
\[BD^2 = 225 + 153.76\]
\[BD^2 = 378.76\]
\[BD \approx 19.45\]

- Для треугольника CDA:
\[AC^2 = CD^2 + DA^2\]
\[AC^2 = 12.4^2 + 15^2\]
\[AC^2 = 153.76 + 225\]
\[AC^2 = 378.76\]
\[AC \approx 19.45\]

- Для треугольника DAB:
\[BD^2 = DA^2 + AB^2\]
\[BD^2 = 15^2 + 12.4^2\]
\[BD^2 = 225 + 153.76\]
\[BD^2 = 378.76\]
\[BD \approx 19.45\]

Получили значения сторон:
AC ≈ 19.45 см
BD ≈ 19.45 см

2. Рассчитаем полупериметр:
\[s = \frac{AC + BD + AC + BD}{2}\]
\[s = \frac{19.45 + 19.45 + 19.45 + 19.45}{2}\]
\[s = \frac{77.8}{2}\]
\[s = 38.9\]

3. Рассчитаем площадь четырехугольника:
\[S = \sqrt{(s-AC)(s-BD)(s-AC)(s-BD)}\]
\[S = \sqrt{(38.9-19.45)(38.9-19.45)(38.9-19.45)(38.9-19.45)}\]
\[S = \sqrt{(19.45)(19.45)(19.45)(19.45)}\]
\[S \approx 1,605.86\]

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD составляет приблизительно 1,605.86 квадратных сантиметров.